電路理論/RLC 電路

串聯 RLC 電路

二階微分方程

$L{\frac {dI}{dt}}+IR+{\frac {1}{C}}\int Idt=V$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {I}{LC}}=0$

其特徵方程為

$s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}=0$

$s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

其中

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$

$\beta ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

當 ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}=0$

$\alpha ^{2}=\beta ^{2};R=2{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

該方程只有一個實根。 $s=-\alpha =-{\frac {R}{2L}}$

I 對 t 的解為 $I(t)=Ae^{-{\frac {R}{2L}}t}$

I-t 曲線看起來像

當 ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0$

$\alpha ^{2}>\beta ^{2};R>{\frac {L}{C}}$

該方程有兩個實根。$s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

對於 $I(t)=e^{\left(-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\right)t}+e^{\left(-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\right)t}=e^{-\alpha }\left[e^{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}+e^{-{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}\right]$

I-t 曲線看起來像

當 ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}<0$

$\alpha ^{2}<\beta ^{2};R<{\frac {L}{C}}$

該方程有兩個復根。$s=-\alpha \pm j{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}$

對於 $I(t)=e^{\left(-\alpha +{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}+e^{\left(-\alpha -{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}=e^{-\alpha }\left[e^{j\left({\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}+e^{-j\left({\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}\right]$

I-t 曲線看起來像

阻尼係數

阻尼係數是指電路振盪隨時間逐漸衰減的程度。我們定義阻尼比為

電路型別	串聯 RLC	並聯 RLC
阻尼係數	$\zeta ={R \over 2}{\sqrt {C \over L}}$	$\zeta ={1 \over 2R}{\sqrt {L \over C}}$
諧振頻率	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

比較阻尼係數和諧振頻率可以得出不同型別的電路：過阻尼、欠阻尼和臨界阻尼。

頻寬

[頻寬]

$\Delta \omega =2\alpha$

對於串聯 RLC 電路

$\Delta \omega =2\alpha ={R \over L}$

對於並聯 RLC 電路

$\Delta \omega =2\alpha ={1 \over RC}$

品質因數

[品質因數]

$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }$

對於串聯 RLC 電路

$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }={L \over R{\sqrt {LC}}}={1 \over R}{\sqrt {L \over C}}$

對於並聯 RLC 電路

$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }={RC \over {\sqrt {LC}}}={R}{\sqrt {C \over L}}$

穩定性

由於電感器和電容器對不同的輸入有不同的反應，因此當電路受到某些型別和幅度的輸入時，其響應有可能趨於無窮大。當電路的輸出趨於無窮大時，該電路被稱為不穩定。不穩定的電路實際上可能很危險，因為不穩定的元件會過熱並可能破裂。

當“行為良好”的輸入產生“行為良好”的輸出響應時，電路被認為是穩定的。“行為良好”一詞在不同的應用中含義不同，但通常是指有限且可控的數量。

共振

當 R = 0 時

當 R = 0 時，電路簡化為一個串聯 LC 電路。當電路處於共振狀態時，電路將在共振頻率下振動。

$Z_{L}=Z_{C}$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

$f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

電路會振動，並且可能會產生駐波，具體取決於驅動訊號的頻率、振盪波的波長以及電路的幾何形狀。

當 R ≠ 0 時

當 R ≠ 0 且電路工作在共振狀態時。

頻率相關的元件 L 和 C 會相互抵消，即 Z_L - Z_C = 0，因此電路的總阻抗為 $Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=R+[Z_{L}-Z_{C}]=R+0=R$

電路的電流為 $I={\frac {V}{R}}$

工作頻率為 $\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

如果將電阻值增加一倍，電流減半，則

$I={\frac {V}{2R}}$

電路在 $\omega _{1}-\omega _{2}$ 頻率範圍內保持穩定。

該電路能夠選擇頻寬，使其在該頻寬內保持穩定。因此，它最適合用作調諧諧振選擇頻寬濾波器。

使用 L 或 C 將電路調諧到共振頻率 $f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}$。電流達到最大值 $I={\frac {V}{R}}$。降低電流，高於 $I={\frac {V}{2R}}$，電路將對比 $\omega _{1}-\omega _{2}$ 更窄的頻寬做出響應。降低電流，低於 $I={\frac {V}{2R}}$，電路將對比 $\omega _{1}-\omega _{2}$ 更寬的頻寬做出響應。

結論

電路	通用	串聯 RLC	並聯 RLC
電路
阻抗	Z	$Z=(j\omega )^{2}+(j\omega ){\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}}$	$Z={\frac {1}{RLC}}{\frac {1}{(j\omega )^{2}+j\omega {\frac {1}{RC}}+{\frac {1}{LC}}}}$
根	λ	λ = $-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{o}^{2}}}$	λ = $-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{o}^{2}}}$
I(t)	Aeλ1t + Beλ2t	Aeλ1t + Beλ2t	Aeλ1t + Beλ2t
阻尼係數	$\alpha$	$\alpha ={R \over 2L}$	$\alpha ={1 \over 2RC}$
諧振頻率	$\omega _{o}$	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$
頻寬	$\Delta \omega =2\alpha$	${R \over L}$	${1 \over CR}$
品質因數	$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }$	$Q={L \over R{\sqrt {LC}}}={1 \over R}{\sqrt {L \over C}}$	$Q={CR \over {\sqrt {LC}}}={R}{\sqrt {C \over L}}$