電路理論/TF 例項/例項 14

找到本書中重複出現的示例之一的偏微分方程解。給定 V_S，求解 i_o。這需要分成兩個傳遞函式

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {I} _{t}}}{\frac {\mathbb {I} _{t}}{\mathbb {V} _{s}}}

它屬於以下形式

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\text{電流分配器}}*{\text{導納}}

電流分配器將是

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {I} _{t}}}={\frac {\frac {1}{R_{3}}}{{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}}}}={\frac {sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}{R_{3}+sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}}

代入傳遞函式

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}{R_{3}+sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}}*{\frac {1}{R_{1}+{\frac {1}{sC_{1}}}+sL_{1}+{\frac {1}{{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}}}}}}

使用以下 mupad 程式碼代入並求解

R1 :=1000;C1 :=.0001;C2 :=.0002;R3 := 2000;L1 := .001;L2 := .001;
f := (s*L2 + 1/(s*C2))/(R3 + s*L2 + 1/(s*C2))*1/(R1 + 1/(s*C1) + s*L1 + 1/(1/R3 + 1/(s*L2 + 1/(s*C2)))):
factor(f);

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {1000*(s^{2}+5000000.0)*s}{s^{4}+5000000.0*s^{3}+2.000015*10^{12}*s^{2}+3.5*10^{13}*s+5.0*10^{13}}}

這個的微分方程將是

1000({d^{2}V_{s} \over dt^{2}}+5000000.0){dV_{s} \over dt}={d^{4}I_{o} \over dt^{4}}+5000000.0{d^{3}I_{o} \over dt^{3}}+2.000015*10^{12}{d^{2}I_{o} \over dt^{2}}+3.5*10^{13}{dI_{o} \over dt}+5.0*10^{13}I_{o}

將源 V_s 設定為零，然後透過將二階技術相加來查詢 I_o（實根是欠阻尼的，等根是臨界阻尼的，虛根是過阻尼的）。

求解零點（將分母設為零）

solve(s^4 + 5000000.0*s^3 + 2.000015*10^12*s^2 + 3.5*10^13*s + 5.0*10^13 = 0, s)

{\text{zeros}}=-4561551.036,-438431.4637,-15.93127461,-1.569297305

因此，在這種情況下，解將是

i_{o}=Ae^{-4561551.036t}+Be^{-438431.4637t}+Ce^{-15.93127461t}+De^{-1.569297305}+E

下一步將是找到 i₀ 的四個初始條件（以及最終條件）。大多數教材都不會嘗試解決如此複雜的問題。穩態特定解早就用相量輕鬆地找到了。傳遞函式有助於找到任何型別的電壓源的通用解。它還有助於找到描述電路剛接通時的斜坡上升的齊次解。工程師設計了哪些電路值得付出這些努力？濾波器。事實上，如今大多數這些工作都是數字化的，這意味著所有這些都需要在數字環境中重複。（模擬變成了現實！）。因此，使用數學工具來解決這些問題，為理解更高階的工具做好準備，是繼續這一內容主題的理由。

因此，讓我們繼續研究濾波器（伯德圖...傅立葉分析），其中常數消失了，我們仍然處於複數域。我們將需要極點來分析作為濾波器（將分子設為零）

solve(s*(1000.0*s^2 + 5000000000.0)=0,s)

{\text{poles}}=0,-2236.067977i,2236.067977i