電路理論/傳遞函式示例/示例33

具有兩個初始條件的串聯RLC電路，wikibook電路理論的示例33

如果V_s(t) = 1 + cos(3t)，求i_o(t)。

選擇起點

由於存在初始條件，我們將從V_c(t)開始，然後逐步透過初始條件推匯出i_o。

傳遞函式

$H(s)={\frac {V_{c}}{V_{s}}}={\frac {\frac {1}{sC}}{{\frac {1}{sC}}+{\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{sL}}}}+R_{2}}}$

MuPad命令將是

L :=1; R1:=.5; R2:=1.5; C:=.5;
simplify((1/(s*C))/(1/(s*C) + 1/(1/R1 + 1/(s*L)) + R2))

結果是

$H(s)={\frac {8s+4}{8s^{2}+11s+4}}$

齊次解

將傳遞函式的分母設定為0，並求解s

solve(8*s^2 + 11*s + 4)

虛根

$s_{1,2}={\frac {-11\pm {\sqrt {7}}i}{16}}$

因此，解的形式為

$V_{c_{h}}=e^{-{\frac {11t}{16}}}(A\cos {\frac {7t}{16}}+B\sin {\frac {7t}{16}})+C$

特解

經過很長時間後，電容器斷路，沒有電流流動，因此所有電源電壓都落在電容器兩端。電源是一個單位階躍函式，因此

$V_{c_{p}}=1$

初始條件

計算常數B之前的mupad螢幕截圖

將特解和齊次解相加，得到

$V_{c}(t)=1+e^{-{\frac {11t}{16}}}(A\cos {\frac {7t}{16}}+B\sin {\frac {7t}{16}})+C$

再次進行最終條件計算，得到

$V_{c}(\infty )=1=1+C\Rightarrow C=0$

這意味著C為零。

根據給定的初始條件，我們知道V_c(0₊) = 0.5，因此可以求出A

$V_{c}(0_{+})=0.5=1+A\Rightarrow A=-0.5$

求解B比較困難。根據電容器端子關係

VC := 1 + exp(-11*t/16)*(-.5*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

IT := diff(VC,t)

總電流為

$i_{T}(t)=C{dV_{c} \over dt}={\frac {11e^{-{\frac {11t}{16}}}}{16}}(0.5\cos {\frac {7t}{16}}-B\sin {\frac {7t}{16}})+{\frac {7e^{-{\frac {11t}{16}}}}{16}}(0.5\sin {\frac {7t}{16}}+B\cos {\frac {7t}{16}})$

迴路方程可以用來求解LR並聯組合上的電壓

$V_{C}+V_{LR}+R_{2}C{dV_{c} \over dt}-V_{s}=0$

$V_{LR}=V_{s}-V_{C}-R_{2}i_{t}=1-V_{c}-1.5*i_{t}$

VLR := 1 - VC - 1.5*IT

我們知道根據電感端電壓關係，

$i_{L}={\frac {1}{L}}\int V_{LR}dt+C_{1}$

IL := 1/.5 * int(VLR,t)

在這一點上，MuPAD放棄了並進行了數值計算。無論如何，從t = ∞（此時電感電流必須為零）可以清楚地看出積分常數為零。這使我們能夠根據電感的初始條件計算B。

t :=0

將時間設定為零，將I_L設定為0.2安培的初始條件，並求解B

solve(IL=0.2, B)

並得到B為-0.2008928571 ...

MuPAD截圖，找到所需的輸出i_o

所需的答案是i_o，它只是V_LR/R_1。為了計算，需要啟動新的MuPAD會話，因為t現在為零。從以下開始：

B := -0.2008928571;
R1 :=0.5;

重複上述命令直至VLR，然後新增

io = VLR/R1

$i_{o}=3e^{-{\frac {11t}{16}}}(0.0879\cos {\frac {7t}{16}}-0.219\sin {\frac {7t}{16}})-0.0625e^{-{\frac {11t}{16}}}(0.5\cos {\frac {7t}{16}}+0.201\sin {\frac {7t}{16}})$