電路理論/傳遞函式示例/示例34/Vc

起點

iL 的起點看起來不錯。可以得到電感兩端的電壓和並聯元件的電壓。然後電壓分壓器將有助於獲得 Vc 的初始條件。

傳遞函式

$H(s)={\frac {i_{o}}{i_{s}}}={\frac {\frac {1}{R_{2}+{\frac {1}{sC}}}}{{\frac {1}{sL}}+{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}+{\frac {1}{sC}}}}}}$

L :=1;
R1 := 1/2;
C := 1/2;
R2 := 1.5;
simplify((1/(R2 + 1/(s*C))/(1/(s*L) + 1/R1 + 1/(R2 + 1/(s*C))))

${\frac {i_{o}}{i_{s}}}={\frac {2s^{2}}{8s^{2}+11s+4}}$

齊次解

將傳遞函式的分母設定為 0 並求解 s

solve(8*s^2 + 11*s + 4)

$s_{1,2}={\frac {-11\pm {\sqrt {7}}i}{16}}$

因此，解將具有以下形式

$i_{L_{h}}=e^{\frac {11t}{16}}(A\cos {\frac {7}{16}}+B\sin {\frac {7}{16}})+C$

特解

經過很長一段時間，電感短路，所有電流都流過它，所以

$i_{o}=0$

初始條件

MuPad 螢幕截圖，用於查詢與常數相關的第一個方程

將特解和齊次解相加，得到

$i_{o}(t)=e^{-{\frac {11t}{16}}}(A\cos {\frac {7t}{16}}+B\sin {\frac {7t}{16}})+C$

再次進行最終條件，得到

$i_{o}(\infty )=0=C\Rightarrow C=0$

讓我們先嚐試 Vc。從電容器的端子關係

$V_{c}(t)={\frac {1}{C}}\int i_{o}dt$

io := exp(-11*t/16)*(A*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

VC := int(io,t)

我們知道最初 Vc = 0.5，所以在 t=0 時可以找到 A 和 B 的方程

t :=0;
solve(0.5 = VC)

此時 MuPad 變為數值，得到以下方程

$A=-0.6363636364B-0.4829545455$

MuPad 程式碼，用於查詢與常數相關的第二個方程

需要另一個方程式。可以透過將 V_r 和 V_c 相加來找到 V_t。然後從 V_t 可以找到電感器電流表達式並檢視其初始條件。

io := exp(-11*t/16)*(A*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

VC := int(io,t)

積分常數將為零，因為經過很長時間，V_C 為零（電感器短路）。

VT := VC + io*1.5

IL := int(VT)

MuPad 變為數值。

此時必須計算積分常數。經過很長時間，電感電流將變為 1，因為它將電流源短路。檢視 MuPad 視窗中的 IL 可以發現每個項都乘以 e^-0.6875t，當 t 趨於 ∞ 時，該項將變為零。這意味著積分常數為 1。

因此，將 1 加到 IL，然後設定 t=0 且 I_L = 0.5，然後再次求解 A 和 B

t :=0;
solve (IL + 1 = 0.5)

得到以下方程式

$A=0.4107683001B+0.5463551119$

現在需要解這兩個方程和兩個未知數

solve([A = - 0.6363636364*B - 0.4829545455,A = 0.4107683001*B + 0.5463551119],[A,B])

得到

$A=0.142578125,B=-0.9829799107$

因此現在有了 i_o 階躍響應的時域表示式

$i_{o}(t)\mu (t)=e^{-{\frac {11t}{16}}}(0.143\cos {\frac {7t}{16}}-0.983\sin {\frac {7t}{16}})$

脈衝響應

用於尋找脈衝響應和使用卷積積分的 MuPad 程式碼

脈衝響應是階躍響應的導數

i_u := exp(-11*t/16)*(0.142578125 * cos(7*t/16) - -0.9829799107*sin(7*t/16))

i_s := diff(i_u,t)

卷積積分

第一步是將 i_s 代入 t

i_sub := subs(i_s, t = y-x):

現在形成卷積積分

f := i_sub*(1 + 3*cos(2*x)):
io := int(f,x = 0..y)

將 y 替換為 t

i_o :=subs(io, y=t)

將會有一個積分常數。由於驅動函式振盪，無法確定該值。電感和電容的初始條件已經過檢視。為了計算積分常數，需要更多資訊（例如未來某個特定時間的值）。

因此最終答案是

$i_{o}=0.344cos(2t)+0.314sin(2t)-0.201e^{-0.6875t}cos(0.438t)+1.29e^{-0.6875t}sin(0.438t)-0.143$