電路理論/傳遞函式示例/示例34/io

起點

i_o的起點看起來不錯。積分來求V_c的初始條件。然後得到V_total的表示式，再積分來求I_L的初始條件。很多積分。

傳遞函式

$H(s)={\frac {i_{o}}{i_{s}}}={\frac {\frac {1}{R_{2}+{\frac {1}{sC}}}}{{\frac {1}{sL}}+{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}+{\frac {1}{sC}}}}}}$

L :=1;
R1 := 1/2;
C := 1/2;
R2 := 1.5;
simplify((1/(R2 + 1/(s*C))/(1/(s*L) + 1/R1 + 1/(R2 + 1/(s*C))))

${\frac {i_{o}}{i_{s}}}={\frac {2s^{2}}{8s^{2}+11s+4}}$

齊次解

將傳遞函式的分母設為0，並解出s

solve(8*s^2 + 11*s + 4)

$s_{1,2}={\frac {-11\pm {\sqrt {7}}i}{16}}$

因此，解將具有以下形式

$i_{o_{h}}=e^{\frac {11t}{16}}(A\cos {\frac {7}{16}}+B\sin {\frac {7}{16}})$

特解

經過很長時間，電感器短路，所有電流都流過它，因此

$i_{o_{p}}=0$

初始條件

MuPad 螢幕截圖，用於查詢與常量相關的第一個方程

將特解和齊次解相加，得到

$i_{o}(t)=i_{o_{p}}+i_{o_{h}}+C=e^{-{\frac {11t}{16}}}(A\cos {\frac {7t}{16}}+B\sin {\frac {7t}{16}})+C$

再次進行最終條件，得到

$i_{o}(\infty )=0=C\Rightarrow C=0$

讓我們先試一下V_c。從電容的端點關係

$V_{c}(t)={\frac {1}{C}}\int i_{o}dt$

io := exp(-11*t/16)*(A*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

VC := 2* int(io,t)

我們知道最初V_c = 1.5，所以當t=0時可以找到A和B的方程

t :=0;
solve(1.5 = VC)

此時，MuPad 轉為數值計算，並得到此方程

$A=-0.6363636364B-0.7244318182$

使用MuPad程式碼尋找與常數相關的第二個方程

需要另一個方程。可以透過將Vr和Vc相加來找到Vt。然後從Vt可以找到電感器電流的表示式並訪問其初始條件。需要在MuPad中重新開始，因為t=0破壞了當前會話。因此重複設定VC

io := exp(-11*t/16)*(A*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

VC := 2*int(io,t)

積分常數將為零，因為經過很長時間後，VC為零（電感器短路）。

VT := VC + io*1.5

從電感器的端電壓方程

$I_{L}(t)={\frac {1}{L}}\int V_{T}dt$

IL := int(VT,t)

MuPad轉為數值運算。

此時必須確定積分常數。經過很長時間後，電感器的電流將為1，因為它將電流源短路。檢視MuPad視窗中的IL可以發現，每項都乘以e^-0.6875t，當t趨於無窮大時，該項將變為零。這意味著積分常數為1。

因此，在IL中加上1，然後設定t=0和IL=0.5，再次求解A和B

t :=0;
solve (IL + 1 = 0.5)

得到這個方程

$A=6.273453094B+1.802644711$

現在需要求解這兩個方程和兩個未知數

solve([A = - 0.6363636364*B - 0.7244318182,A = 6.273453094*B + 1.802644711],[A,B])

得到

$A=-0.4916992187,B=-0.3657226563$

因此，現在有了io階躍響應的時域表示式

$i_{o}(t)\mu (t)=e^{-{\frac {11t}{16}}}(-0.492\cos {\frac {7t}{16}}-0.366\sin {\frac {7t}{16}})$

脈衝響應

使用MuPad程式碼尋找脈衝響應並使用卷積積分

脈衝響應是階躍響應的導數

i_u := exp(-11*t/16)*(-0.4916992187 * cos(7*t/16) - 0.3657226563*sin(7*t/16))

i_s := diff(i_u,t)

卷積積分

第一步是將is替換為t

i_sub := subs(i_s, t = y-x):

現在形成卷積積分

f := i_sub*(1 + 3*cos(2*x)):
io := int(f,x = 0..y)

將y替換為t

i_o :=subs(io, y=t)

將會有一個積分常數。這個值無法確定，因為驅動函式是振盪的。電感器和電容的初始條件已經訪問過。需要更多資訊（例如未來時間的特定值）才能計算積分常數。

因此，最終答案是

$i_{o}=0.335sin(2t)-0.0177cos(2t)-0.474e^{-0.6875t}cos(0.438t)-0.648e^{-0.6875t}sin(0.438t)+0.492$

答案表明，當t=0時，io=0。指數項在5/0.6875 = 7.27秒後衰減，留下一個與電流源相位差超過90°的正弦函式，直流電平約為0.5安培。