電路理論/暫態概述及學習指南

本文涵蓋了暫態的基本知識，即分析電路響應，該響應在長時間後會消失。

RC 或 LC 電路

RL 和 LC 電路（含電壓源，無電壓源時 Vc=0）的一般求解步驟

1. 使用 KVL 和 KCL，得到一階微分方程
2. 求特解（強迫函式） $Y_{p}$（表在頁面底部）
3. 完整解是特解 + 齊次解。

$y(x){=}Y_{p}+y_{c}$

$y_{c}(x){=}K_{1}+K_{2}e^{sx}$

1. 將解代入微分方程以求 $K_{1}$ 和 s。（或者透過在穩態下求解來求 $K_{1}$）
2. 使用給定的初始條件求 $K_{2}$
3. 寫出最終解

RLC 電路

• 直流電路 -> 恆定強迫函式
• 交流電路 -> 正弦強迫函式
• VDc 的特解 => L-> 短路，C-> 開路

概念	公式	備註
阻尼係數（串聯 LC）	$\alpha {=}{R \over 2L}$
阻尼係數（並聯 LC）	$\alpha {=}{1 \over 2RC}$
無阻尼諧振頻率	$\omega _{0}{=}{1 \over {\sqrt {LC}}}$
一般形式	$f(t){=}{d^{2}i(t) \over dt^{2}}+2\alpha {di(t) \over dt}+\omega _{0}^{2}i(t)$
特徵方程	$s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}{=}0$
特徵方程的根	$s_{1,2}{=}-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$
阻尼比	$\zeta {=}{\alpha \over \omega _{0}}$
過阻尼	$x_{c}(t){=}K_{1}e^{s_{1}t}+K_{2}e^{s_{2}t}$	根為實數且不相等 $\zeta >1$ $\alpha >\omega$
臨界阻尼	$x_{c}(t){=}K_{1}e^{s_{1}t}+K_{2}te^{s_{1}t}$	根為實數且相等 $\zeta {=}1$ $\alpha {=}\omega$
固有頻率	$\omega _{n}{=}{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}$
欠阻尼	$x_{c}(t){=}K_{1}e^{-\alpha t}\cos {\omega _{n}t}+K_{2}e^{-\alpha t}\sin {\omega _{n}t}$	根為複數 $\zeta <1$ $\alpha <\omega$

激勵函式表

值	近似值
常數	A
$e^{t}$	$Ke^{st}$
sin(t)/cos(t)	$A\sin(pt)+B\cos(pt)$
$t^{n}$	$At^{n}+Bt^{n-1}+...+Ct+D$
$t^{n}e^{t}$	$At^{n}e^{pt}+Bt^{n-1}e^{pt}+...Ce^{pt}$