經典力學/辛空間

與其他可能的變數選擇（如“速度”和“位置”的集合）相比，是什麼使相空間變數“動量”和“位置”（p，q）如此特殊？原因是相空間（p，q）具有“辛結構”的附加性質。

讓我們定義一個“辛單位矩陣”

$I\equiv {\sqrt {-1}}$

其中 -1 是一個偶數維度的單位矩陣。我們正在討論的矩陣的維度是相空間維度，它總是偶數（每個位置變數都與一個動量變數配對）。這本質上是我們從複數代數中知道的虛數單位的矩陣推廣。簡而言之，當單位矩陣在戰略性選擇的位置被辛矩陣替換時，就會出現辛空間。

這聽起來很簡單，但有一個問題：矩陣的平方根是什麼？正如我們已經從複數代數中知道的，平方根不只有一個答案。在力學中，我們用 I 表示的根是“完全反對稱的”。但這仍然不能完全確定 I 是什麼。為了進一步瞭解，我們需要考慮相空間中的物理學。特別是，我們將遇到時間演化下體積保持的現象。