Common Lisp/高階主題/數字

Common Lisp 比大多數程式語言更支援執行數字運算任務。這是透過支援大整數、有理數和複數，以及許多用於操作它們的函式來實現的。

數字型別

數字型別的層次結構如下所示

• number
  • real
    • rational
      • integer
        • fixnum
        • bignum
      • ratio
    • float
      • short-float
      • single-float
      • double-float
      • long-float
  • complex

Fixnums 和 Bignums

Fixnums 是不太大的整數，可以非常有效地操作。哪些數字被認為是 fixnums 取決於實現，但所有 [-2¹⁵,2¹⁵-1] 中的整數都保證是 fixnums。

Bignums 是不是 fixnums 的整數。它們的尺寸受 Lisp 為其分配的記憶體量限制，因此它們可能非常大。對它們的操作比對 fixnums 慢得多。當然，這並不能使它們不那麼有用。

比率

比率表示兩個整數的比率。它們的形式為 分子/分母。執行除法的函式 / 當其引數是整數或比率時總是產生比率。例如 (/ 1 2) 將得到 1/2，而不是 0.5。其他算術運算也能很好地處理比率。

浮點數

Float 是 浮點數 的簡稱，一種資料型別，用於在大多數程式語言中表示非整數。Common Lisp 中有四種浮點數，它們提供了越來越高的精度（與實現相關）。預設情況下，實現假定使用短浮點數，它們具有有限的精度。要輸入更精確的浮點數，必須使用其他文字表示法，例如，對於雙精度浮點數，使用 "1.0d0"。

複數

Complex 是一種資料型別，用於表示 複數。複數的表示法為 #C(實部 虛部)。實部和虛部都是有理數或浮點數。可以對複數執行的運算包括所有算術運算，以及許多可以擴充套件到複數的函式（如冪運算和對數運算）。

數值運算

以下函式針對所有型別的數字定義

• 算術運算 +,-,*,/ 很明顯（注意，它們可以有多個引數）。
• sin, cos, tan, acos, asin, atan 提供三角函式。
• 相同，在末尾新增 h（如 asinh）提供相應的雙曲函式。
• exp 和 expt 執行冪運算。exp 接受一個引數並計算 e^x，而 expt 接受兩個引數（底數和指數）。
• sqrt 計算一個數字的平方根。
• log 計算對數。如果提供一個引數，則計算自然對數。如果提供了兩個引數，則第二個引數用作底數。
• conjugate 返回一個數字的 共軛複數。對於實數，結果是數字本身。
• abs 返回一個數字的絕對值（或模數）。
• phase 返回一個數字的複數輻角（角度分量）。
• signum 返回一個與它的引數具有相同相位的數字，但模數為單位。

以下函式針對特定型別的數字定義

• gcd 和 lcm 計算幾個整數的 最大公約數 和 最小公倍數。
• isqrt 返回小於或等於給定自然數的精確平方根的最大整數。
• cis 計算 e^iφ，其中 φ 以弧度給出。

數字比較

以下函式可用於比較數字。每個函式都接受任意數量的引數。

• = 如果所有引數都是相同值的數字，則返回 t，否則返回 nil。由於浮點數的精度問題，不建議對它們使用 =。

• /= 如果所有引數都是不同值的數字，則返回 t。請注意，(/= a b c) 不總是與 (not (= a b c)) 相同。

• <, <=, >, >= 檢查它們的引數是否按適當的單調順序排列。這些函式不能應用於複數，原因顯而易見。

• max 和 min 分別返回它們引數中的最大值和最小值。

數值型別操作

這些函式用於將數字從一種型別轉換為另一種型別。

• floor, ceiling, truncate, round 接受兩個引數：數字和除數，並返回商（一個整數）和餘數=數字-商*除數。選擇商的方法取決於函式。floor 選擇不超過比率=數字/除數的最大整數，ceiling 選擇小於比率的最大整數，truncate 選擇與比率符號相同的整數，且絕對值小於比率的絕對值的最大整數，round 選擇最接近比率的整數（如果有兩個這樣的數字，則選擇偶數整數）。注意：這些函式返回兩個值（參見 多個值）。
• ffloor, fceiling, ftruncate, fround 與上面的相同，但商被轉換為與數字相同的浮點數型別。
• (mod a b) 返回 (floor a b) 的第二個值。
• (rem a b) 返回 (truncate a b) 的第二個值。
• float 將第一個引數（一個實數）轉換為浮點數。這可能有助於避免使用有理數進行緩慢的操作（參見示例 1）。可以提供第二個可選引數，它必須是浮點數 - 它將用作原型。結果將與原型具有相同的浮點數型別。
• rational 和 rationalize 將實數轉換為有理數。當這個數字是浮點數時，rational 返回一個在數學上等價於浮點數的有理數。rationalize 逼近浮點數。前一個函式通常會產生分母很大的比率，因此它不像您想象的那樣有用。
• numerator 和 denominator 返回有理數的對應部分。
• complex 從實部和虛部建立複數。函式 realpart 和 imagpart 返回一個數字的實部和虛部。

與數字相關的謂詞

謂詞如果為真則返回非 nil 結果，如果為假則返回 nil。

• zerop - 數字為零（Lisp 中可能存在多個零 - 整數零、實數零、複數零，也可能存在負零）。
• plusp, minusp - 實數為正/負。
• evenp, oddp - 整數為奇數/偶數。
• integerp - 數字為整數（型別為 integer - 參見上面的型別樹）。
• floatp - 數字為浮點數。
• rationalp - 數字為有理數。
• realp - 數字為實數。
• complexp - 數字為複數。

參見

• 示例 1