通訊系統/FM 和 PM 概論

概念

從我們最初的概述中可以看出，FM 和 PM 調製方案有很多共同之處。它們都是根據某個函式改變載波正弦波的角度。事實證明，我們可以將兩者進一步概括到一個稱為角度調製的單一調製方案中。請注意，我們永遠不會用字母“AM”來縮寫“角度調製”，因為幅度調製與角度調製完全不同。

瞬時相位

現在讓我們看看 FM 和 PM 的一些共同點

$s_{FM}=A\cos(2\pi [f_{c}+ks(t)]t+\phi )$

$s_{PM}=A\cos(2\pi f_{c}t+\alpha s(t))$

我們要分析的是正弦波的引數，我們將其稱為 Psi。讓我們顯示載波、FM 和 PM 的 Psi 值

$\Psi _{carrier}(t)=2\pi f_{c}t+\phi$

$\Psi _{FM}(t)=2\pi [f_{c}+ks(t)]t+\phi$

$\Psi _{PM}(t)=2\pi f_{c}t+\alpha s(t)$

$s(t)=A\cos(\Psi (t))$

這個 Psi 值被稱為正弦波的瞬時相位。

瞬時頻率

使用瞬時相位值，我們可以用以下公式找到波的瞬時頻率

$f(t)={\frac {d\Psi (t)}{dt}}$

我們也可以用瞬時頻率來表示瞬時相位

$\Psi (t)=\int _{-\infty }^{t}f(\lambda )d\lambda$

其中希臘字母“lambda”只是一個用於積分的啞變數。利用這些關係，我們可以進一步研究 FM 和 PM 訊號。

確定 FM 或 PM

如果我們給定一個特定角度調製傳輸的瞬時相位的方程式，是否可以確定該傳輸使用的是調頻還是調相？事實證明，可以透過遵循兩個簡單的規則來確定哪一個是哪一個。

1. 在調相中，瞬時相位是線性函式。
2. 在調頻中，瞬時頻率減去載波頻率是線性函式。

為了複習線性，訊號與系統書 中有一章專門討論這個主題，值得重新閱讀。

頻寬

在調相系統中，我們知道值 $\alpha s(t)$ 永遠不會超出 $(-\pi ,\pi ]$ 的範圍。由於正弦函式在 [-1, 1] 之間振盪，因此我們可以使用它們作為一般的調相生成函式。現在，我們可以將調頻和調相訊號組合成一個通用方程，稱為角度調製。

$v(t)=A\sin(2\pi f_{c}t+\beta \sin(2\pi f_{m}t))$

如果我們想分析這個方程的頻譜成分，我們需要對其進行傅立葉變換。但是，我們無法積分正弦函式的正弦函式，更不用說找到它的變換了。那麼我們該怎麼做呢？

事實證明（現在推導將省略），我們可以將這個方程表示為一個無限和，如下所示。

$v(t)=A\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )\sin[2\pi (nf_{m}+f_{c})t]$

但是，$J_{n}(\beta )$ 這一項是什麼？J 是貝塞爾函式，它只存在於一個開放積分中（無法用閉式形式寫出）。對我們來說幸運的是，有大量表格記錄了貝塞爾函式的值。

貝塞爾函式

貝塞爾函式的定義如下公式

$J_{n}(\beta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{j[\beta sin\theta -n\theta ]}d\theta$

貝塞爾函式是一個有兩個變數的函式，N 和 $\beta$。

貝塞爾函式具有以下性質。

• 如果 n 是偶數

$J_{-n}(\beta )=J_{n}(\beta )$

• 如果 n 是奇數

$J_{-n}(\beta )=-J_{n}(\beta )$

• $J_{n-1}+J_{n+1}={\frac {2n}{\beta }}J_{n}(\beta )$.

貝塞爾函式是一個比較高階的數學工具，我們這本書不會進一步分析它。

卡森規則

如果我們有我們的廣義函式

$v(t)=A\sin(2\pi f_{c}t+\beta \sin(2\pi f_{m}t))$

我們可以使用以下公式找到訊號的頻寬 BW。

$BW=2(\beta +1)f_{m}=2(\Delta f+f_{m})$

其中 $\Delta f$ 是發射訊號相對於載波頻率的最大頻率偏移。需要注意的是，卡森法則只是一個近似值（儘管它在工業中經常使用）。

解調：第一步

現在，需要注意的是，FM 和 PM 訊號在解調期間的前兩個步驟都相同

1. 將訊號透過限幅器，以消除振幅峰值
2. 將訊號透過帶通濾波器以消除低頻和高頻噪聲（儘可能多地消除，而不會濾除訊號）。

完成這兩個步驟後，我們不再擁有白噪聲，因為我們已經將噪聲通過了濾波器。現在，我們說噪聲是有色的。

以下是迄今為止我們解調器的基本圖表

      channel
s(t) ---------> r(t) --->|Limiter|--->|Bandpass Filter|---->z(t)

其中 z(t) 是帶通濾波器的輸出。

濾波後的噪聲

為了表示新的濾波後的噪聲和新的濾波後的訊號，我們有以下等式

$z(t)=\gamma A\cos(\Psi (t))+n_{0}(t)$

我們稱加性噪聲為 $n_{0}(t)$，因為它已經被濾波，不再是白噪聲。 $n_{0}(t)$ 被稱為窄帶噪聲，可以用如下方式表示

$n_{0}(t)=\mathbf {W} (t)\cos(2\pi f_{c}t)+\mathbf {Z} (t)\sin(2\pi f_{c}t)$

現在，一旦我們得到這種形式，我們就可以使用三角恆等式來簡化此等式

$n_{0}(t)=\mathbf {R} (t)\cos(2\pi f_{c}t+\mathbf {\Theta } (t))$

其中

$\mathbf {R} (t)={\sqrt {\mathbf {W} (t)^{2}+\mathbf {Z} (t)^{2}}}$

$\mathbf {\Theta } (t)=tan^{-1}(\mathbf {Z} (t)/\mathbf {W(t)} )$

這裡，新的噪聲引數 R(t) 是一個瑞利隨機變數，將在下一章中討論。

噪聲分析

R(t) 是一個影響接收訊號幅度的噪聲函式。但是，我們的接收器將訊號透過一個限幅器，這將消除訊號中的幅度波動。因此，R(t) 不會影響我們的訊號，現在可以安全地忽略它。這意味著影響我們訊號的唯一隨機變數是變數 $\mathbf {\Theta } (t)$，即“Theta”。Theta 是一個均勻分佈的隨機變數，其取值範圍在 pi 和 -pi 之間。超出此範圍的值會“環繞”，因為相位是迴圈的。