如果我們使載波頻率成為時間的函式，我們可以得到一個如下所示的廣義函式
s F M = A cos ( 2 π [ f c + k s ( t ) ] t + ϕ ) {\displaystyle s_{FM}=A\cos(2\pi [f_{c}+ks(t)]t+\phi )} 我們仍然有一個載波，但現在我們有了ks(t)值，將其新增到該載波中，以傳送我們的資料。
作為重要結果，ks(t) 必須始終小於載波頻率，以避免歧義和失真。
回想一下，一般的正弦波形式為
e c = sin ( ω c t + θ ) {\displaystyle e_{c}=\sin \left({\omega _{c}t+\theta }\right)} 調頻涉及到使載波頻率偏離一定量。如果使用正弦波來使載波偏離，則在任何時刻的頻率表示式將為
ω i = ω c + Δ ω sin ( ω m t ) {\displaystyle \omega _{i}=\omega _{c}+\Delta \omega \sin \left({\omega _{m}t}\right)} 其中 ω i = {\displaystyle \omega _{i}=} ω c = {\displaystyle \omega _{c}=} Δ ω = {\displaystyle \Delta \omega =} ω m = {\displaystyle \omega _{m}=} 此表示式描述了圍繞某個平均頻率正弦變化的訊號。然而，我們不能簡單地將此表示式代入正弦波的一般方程以得到調頻方程。這是因為正弦運算子作用於角度，而不是頻率。因此，我們必須用角度來定義瞬時頻率。
需要注意的是，調製訊號的幅度決定了載波偏移量 ，而調製訊號的頻率決定了載波偏移速率 。
術語 ω {\displaystyle \omega } 角速度 （弧度每秒），它與頻率和角度之間的關係如下
ω = 2 π f = d θ d t {\displaystyle \omega {\rm {=2}}\pi {\rm {f=}}{\frac {d\theta }{dt}}} 為了找到角度，我們必須對 ω {\displaystyle \omega } ∫ ω d t = θ {\displaystyle \int {\omega dt=\theta }} 現在我們可以找到與瞬時頻率相關的瞬時角度 θ = ∫ ω i d t = ∫ ( ω c + Δ ω sin ( ω m t ) ) d t = ω c t − Δ ω ω m cos ( ω m t ) = ω c t − Δ f f m cos ( ω m t ) {\displaystyle {\begin{array}{l}\theta =\int {\omega _{i}dt=\int {\left({\omega _{c}+\Delta \omega \sin \left({\omega _{m}t}\right)}\right)}}dt=\omega _{c}t-{\frac {\Delta \omega }{\omega _{m}}}\cos \left({\omega _{m}t}\right)=\omega _{c}t-{\frac {\Delta f}{f_{m}}}\cos \left({\omega _{m}t}\right)\\\end{array}}} 現在，可以將此角度代入通用載波訊號，以定義 FM。 e f m = sin ( ω c t − Δ f f m cos ( ω m t ) ) {\displaystyle e_{fm}=\sin \left({\omega _{c}t-{\frac {\Delta f}{f_{m}}}\cos \left({\omega _{m}t}\right)}\right)} FM 調製指數 被定義為載波偏差與調製頻率之比。 m f m = Δ f f m {\displaystyle m_{fm}={\frac {\Delta f}{f_{m}}}} 因此，FM 方程通常寫成 e f m = sin ( ω c t − m f m cos ( ω m t ) ) {\displaystyle e_{fm}=\sin \left({\omega _{c}t-m_{fm}\cos \left({\omega _{m}t}\right)}\right)} 這是一個非常複雜的表示式，它沒有直接表明該訊號的邊帶是什麼樣的。解決這個問題需要了解第一類 和p 階 的貝塞爾函式 。以展開形式，它類似於
J p ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( x 2 ) 2 k + p k ! ( k + p ) ! {\displaystyle J_{p}\left(x\right)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({-1}\right)^{k}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k+p}}{k!\left({k+p}\right)!}}} 其中 J p ( x ) = {\displaystyle J_{p}\left(x\right)=} p = {\displaystyle p=} x = {\displaystyle x=} 作為一個有趣的事實，貝塞爾函式是以下方程的解 x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − p 2 ) = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left({x^{2}-p^{2}}\right)=0} 貝塞爾函數出現在圓柱波和球面波理論中，就像正弦波出現在平面波理論中一樣。
事實證明，FM 會產生無限多個邊頻（在上邊帶和下邊帶中）。每個邊頻都是調製訊號頻率的整數倍。高階邊頻的幅度迅速減小，通常可以忽略。
載波訊號的幅度也是調製指數的函式，在某些情況下，它的幅度實際上可以變為零。這並不意味著訊號消失，而是意味著所有的廣播能量都被重新分配到邊頻上。
載波和前五個邊頻幅度作為調製指數函式的圖類似於
貝塞爾係數有一些有趣的性質，包括
J 0 2 + 2 ( J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 + ⋯ ) = 1 {\displaystyle J_{0}^{2}+2\left({J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}+\cdots }\right)=1} 對這一點的一種非常有用的解釋是： J 0 {\displaystyle J_{0}} J 1 {\displaystyle J_{1}} J 2 {\displaystyle J_{2}}
調頻產生上邊帶和下邊帶，每個邊帶都包含無限多個邊頻。然而，調頻頻寬不是無限的，因為高階邊頻的幅度快速下降。卡森法則 常被用來計算頻寬，因為它包含了 90% 以上的調頻訊號。
卡森法則 B f m ≈ 2 ( m f m + 1 ) f m = 2 ( Δ f + f m ) ) {\displaystyle B_{fm}\approx 2\left({m_{fm}+1}\right)f_{m}=2\left({\Delta f+f_{m}}\right))} 在商業廣播應用中，對於純粹的單聲道電臺，最大調製指數 ( m f m {\displaystyle m_{fm}} Δ f {\displaystyle \Delta f} f m {\displaystyle f_{m}}
對於立體聲電臺，最大調製指數被顯著降低，因為用於分離聲道的資訊必須與單聲道音訊訊號一起傳輸。這增加了所需的頻寬至 53 kHz。因此，最大調製指數為 = 75/53 = 1.41509434... 無線資料系統 (RDS) 資訊進一步增加了頻寬至約 60 kHz，將最大調製指數降低至 75/60 = 1.25。
單聲道訊號為 M = L + R，立體聲差異訊號為 S = L - R。將兩個聯立方程相加得到 M + S = 2L + (R-R)，恢復左聲道，而將它們相減恢復右聲道。這被傳輸為雙邊帶抑制載波 (DSBSC)，它本質上只是一個 AM "電臺" 一直在執行，但當沒有訊號傳輸時，它的載波不會被髮送。（與主節目一起傳送的 "電臺"（通常在超聲波頻率）被稱為子載波 。）一個立體聲 "導頻" 音用於讓接收機知道正在接收立體聲訊號，並且還允許再生抑制載波（透過將導頻音的頻率加倍），因此立體聲差異訊號可以像普通的 AM 電臺一樣解調，並且由此產生的訊號用於將音訊分離成兩個聲道。
RDS 資訊是另一個與主節目一起傳送的 "AM 電臺"，但頻率是導頻頻率的 3 倍（19 kHz × 3 = 57 kHz）。它的內容不是音訊，而是表示數字訊號的模擬值，該訊號承載著電臺名稱和許多其他資訊，例如其備用頻率、一天中的時間、節目資訊等。
在 AM 系統中，噪聲很容易使傳輸訊號失真，然而，在 FM 系統中，任何新增的噪聲必須產生頻率偏移才能被感知。
由於隨機噪聲產生的最大頻率偏移發生在噪聲與合成訊號成直角時。在最壞的情況下，訊號頻率被偏移了
δ = θ f m {\displaystyle \delta =\theta f_{m}} 這表明由於噪聲引起的偏移隨著調製頻率的增加而增加。由於噪聲功率是噪聲電壓的平方，信噪比會顯著下降。
為了防止這種情況，調製訊號的幅度被增加以保持整個廣播頻段的信噪比恆定。這被稱為預加重。
在 FM 調製器（發射機）中增加高頻基帶訊號的幅度必須在 FM 解調器（接收機）中進行補償，否則訊號聽起來會很尖銳（高音過多）。
標準曲線類似於
在商業 FM 廣播中，加重電路由一個簡單的 RC 網路組成，其時間常數為 75 μ {\displaystyle \mu }
預加重響應的大小由以下公式定義：
正弦波發射功率的方程是一個基本方程。記住它。
由於調頻中正弦波幅度不變，發射功率是常數。一般來說，對於幅度恆定的正弦波，發射功率可以按如下方法求得
P ( t ) = A 2 2 R L {\displaystyle P(t)={\frac {A^{2}}{2R_{L}}}} 其中 A 是正弦波的幅度，RL 是負載的電阻。在歸一化系統中，我們設定 RL 為 1。
貝塞爾係數可用於確定載波和任何邊頻中的功率。
P T = P C ( J 0 2 + 2 ( J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 + ⋯ ) ) {\displaystyle P_{T}=P_{C}\left({J_{0}^{2}+2\left({J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}+\cdots }\right)}\right)} P T {\displaystyle P_{T}} P C {\displaystyle P_{C}}
任何角度調製接收機都需要包含幾個元件
限幅器，用於去除異常幅度值。
帶通濾波器，用於分離帶外噪聲。
鑑頻器，用於將頻率轉換為電壓。
低通濾波器，用於去除鑑頻器新增的噪聲。 鑑頻器本質上是一個與包絡檢波器串聯的微分器。
FM ---->|Differentiator|---->|Envelope Filter|----> Signal
此外，您還可以根據需要新增一個阻塞電容，以去除訊號的任何直流成分。
![{\displaystyle s_{FM}=A\cos(2\pi [f_{c}+ks(t)]t+\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a386d23e1cc1b8387c48d7faa35a7c7dbb3ad1)
