交換代數/阿廷環

定義，第一個性質

定義 19.1:

一個環 $R$ 稱為 **阿廷環** 當且僅當每個降鏈

$I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \cdots \supseteq I_{k}\supseteq \cdots$

中的理想最終會終止。

等價地，$R$ 是阿廷環，當且僅當它作為 $R$-模它本身。

命題 19.2:

設 $R$ 是一個阿廷整環。那麼 $R$ 是一個域。

證明:

設 $r\in R$。考慮在 $R$ 中的降鏈

$\langle r\rangle \supseteq \langle r^{2}\rangle \supseteq \langle r^{3}\rangle \supseteq \cdots \supseteq \langle r^{n}\rangle \supseteq \cdots$.

由於 $R$ 是阿廷環，因此該鏈最終會穩定；特別地，存在 $n\in \mathbb {N}$ 使得

$\langle r^{n}\rangle =\langle r^{n+1}\rangle$.

然後寫下$r^{n}=sr^{n+1}$，也就是說$r^{n}(1-sr)=0$，也就是說（因為我們在一個積分域中）$sr=1$ 以及 $r$ 有一個逆。$\Box$

推論 19.3:

令$R$ 為一個阿廷環。那麼$R$ 的每一個素理想都是極大的。

證明:

如果$p\leq R$ 是一個素理想，那麼$R/p$ 是一個阿廷（定理 12.9）積分域，因此是一個域，因此$p$ 是極大的。$\Box$

特徵

定理 19.4:

令$R$ 為一個環。我們有

$R$ 是阿廷環 $\Leftrightarrow$ $R$ 是諾特環，並且$R$ 的每一個素理想都是極大的。

證明:

首先假設零理想$\langle 0\rangle$ 的$R$ 可以寫成極大理想的乘積；即

$\langle 0\rangle =m_{1}\cdots m_{n}$

對於某些極大理想 $m_{1},\ldots ,m_{n}\leq R$。在這種情況下，如果滿足任一鏈條件，則可以考慮 $R$ 的正規列，將其視為自身上的 $R$ 模，給出：

$R\geq m_{1}\geq m_{1}\cdot m_{2}\geq \cdots \geq m_{1}\cdot m_{2}\cdots m_{n}=\langle 0\rangle$.

考慮商模 $m_{1}\cdots m_{k}/m_{1}\cdots m_{k+1}$。這是一個在域 $R/m_{k+1}$ 上的向量空間；因為，它是一個 $R$ 模，而 $m_{k+1}$ 使其湮滅。

因此，在存在任一鏈條件的情況下，我們得到一個有限維向量空間，因此 $R$ 具有一個合成列（使用定理 12.9 並從左到右得到一個合成列）。我們現在將繼續證明 $\langle 0\rangle$ 在以下情況下是極大理想的乘積：

1. $R$ 是諾特環，並且每個素理想都是極大理想
2. $R$ 是阿廷環。

1.: 如果 $R$ 是諾特環，則每個理想（尤其是 $\langle 0\rangle$）包含素理想的乘積，因此等於素理想的乘積。根據假設，所有這些都是極大理想。

2.: 如果 $R$ 是阿廷環，我們使用降鏈條件來證明，如果（為了得到矛盾）$\langle 0\rangle$ 不是 素理想的乘積，則 $R$ 的理想集，是 素理想的乘積，關於包含的反向順序是歸納的，因此包含一個極小（關於包含）元素 $I\neq \langle 0\rangle$。我們由此得到一個矛盾。

我們形成 $A:=(\langle 0\rangle :I)$。由於 $1\notin A$，因為 $I\neq 0$，$A\neq R$。再次利用 $R$ 是 artinian 的，我們選擇 $B$，使其滿足條件 $B>A$ 且為最小值。我們設定 $p:=(A:B)$ 並斷言 $p$ 是素數。事實上，假設 $a\notin p$ 且 $b\notin p$。我們有

$A\subsetneq aB+A\subseteq B$，因此，由於 $B$ 的最小性，$aB+A=B$

對 $b$ 也是類似的。因此

$abB+A=a(bB+A)+A=aB+A=B$,

由此得出 $ab\notin p$。我們很快就會看到 $p\neq R$。事實上，我們有 $pB\leq A$，因此 $IpB\subseteq \langle 0\rangle$，所以

$(\langle 0\rangle :Ip)\geq B>A=(\langle 0\rangle :I)$.

這表明 $p\neq R$，並且 $Ip\subsetneq I$ 與 $I$ 的極小性矛盾。 $\Box$