交換代數/素理想和極大理想及區域性環基礎

素理想

定義 12.1:

設 $R$ 為環。一個素理想 $p$ 是 $R$ 的一個理想，使得只要 $ab\in p$，則要麼 $a\in p$ 或者 $b\in p$。

引理 12.2:

設 $R$ 為環，且 $I\leq R$ 為理想。 $I$ 為素理想當且僅當 $R/I$ 為整環。

證明:

$I$ 為素理想等價於 $ab\in I\Rightarrow a\in I\vee b\in I$。這等價於

$ab+I=0+I\Rightarrow a+I=0+I\vee b+I=0+I$。$\Box$

定理 12.3:

設 $S\subseteq R$ 為乘法封閉集。則存在一個素理想不與 $S$ 相交。

證明:

按集合包含關係對所有不與 $S$ 相交的 $R$ 的理想排序，並取一個鏈

$I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq \cdots \subseteq I_{k}\subseteq \cdots$

給定。理想

$I:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }I_{k}$

(這是一個理想，因為 $a,b\in I\Rightarrow a\in I_{m},b\in I_{n}\Rightarrow a,b\in I_{\max\{m,n\}}$，因此 $a+b\in I$，$ra\in I$) 是鏈的上界，因為 $I$ 不能與 $S$ 相交，否則其中一個 $I_{k}$ 將與 $S$ 相交。由於給定的鏈是任意的，佐恩引理 意味著在所有不與 $S$ 相交的理想中存在一個極大理想。這個理想被稱為 $J$；我們證明它是素理想。

令 $ab\in J$，並假設為了矛盾， $a\notin J$ 且 $b\notin J$。然後 $\langle a\rangle +J$，$\langle b\rangle +J$ 是 $J$ 的嚴格上理想，因此與 $S$ 相交，即，

$s=xa+yj$,

$t=zb+wj'$,

$s,t\in S$, $x,y,z,w\in R$, $j,j'\in J$. 那麼 $S\ni st=xzab+yzbj+xawj'+ywjj'\in J$, 矛盾。 $\Box$

投影到商環

在本節中，我們希望確定一個符號。設 $R$ 為環，$I\leq R$ 為理想。 那麼我們可以形成商環 $R/I$，它包含 $r+I$ 形式的元素，$r\in R$。 在本書中，我們將使用以下符號來表示典範投影 $r\mapsto r+I$

定義 12.4:

設 $I\leq R$ 為理想。 對映

$\pi _{I}:R\to R/I,\pi _{I}(r):=r+I$

是 $R$ 到 $R/I$ 的典範投影。

極大理想

定義 12.5:

設 $R$ 為一個環。極大理想 $m$ 的 $R$ 是一個不等於整個環的理想，並且不存在真理想 $I\leq R$ 使得 $m\subsetneq I$。

引理 12.6:

理想 $I\leq R$ 為極大理想當且僅當 $R/I$ 為域。

證明:

一個環為域當且僅當其唯一的真理想為零理想。因為，在一個域中，每個非零理想都包含 $1$，如果 $R$ 不是域，則它包含一個非單位元 $a$，然後 $\langle a\rangle$ 不包含 $1$。

由對應定理給出的對應關係，$R/I$ 對應於 $R$，$R/I$ 的零理想對應於 $I$，任何嚴格介於兩者之間的理想對應於一個理想 $K\leq R$ 使得 $I\subsetneq K\subsetneq R$。因此，$R/I$ 為域當且僅當不存在嚴格包含 $I$ 的真理想。 $\Box$

引理 12.7:

任何極大理想都是素理想。

證明 1:

如果 $R$ 是一個環，$m\leq R$ 是極大的，那麼 $R/m$ 是一個域。因此 $R/m$ 是一個整環，因此 $m$ 是素的。$\Box$

證明 2:

設 $m\leq R$ 是極大的。設 $ab\in m$。假設 $a,b\notin m$。那麼 $1=ra+sn=tb+uk$ 對於適當的 $n,k\in m$，$r,s,t,u\in R$。但然後 $1=1^{2}=(ra+sn)(tb+uk)=rtab+stbn+rauk+sunk\in m$。$\Box$

定理 12.8:

設 $R$ 是一個環，$I\leq R$ 是一個理想，它不等於整個 $R$。那麼存在一個極大的 $m\leq R$ 使得 $I\subseteq m$。

證明:

我們根據包含關係對所有理想 $J$ 的集合進行排序，使得 $I\subseteq J$ 並且 $J\neq R$。設

$J_{1}\subseteq J_{2}\subseteq \cdots \subseteq J_{k}\subseteq \cdots$

是一個理想的鏈。然後設定

$J:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }J_{k}$.

顯然，所有$J_{k}$都包含在$J$中。由於$I\subseteq J_{1}$，$I\subseteq J$。此外，假設$1\in J$。那麼$1\in J_{m}$對於某些$m$，矛盾。因此，$J$是一個適當的理想，使得$I\subseteq J$，因此是給定鏈的上界。由於給定鏈是任意的，我們可以應用 Zorn 引理來獲得關於包含的最大元素的存在性。然後這個理想必須是極大的，因為任何適當的超級理想也包含$I$。$\Box$

引理 12.9:

令$R$為一個環，$I\leq R$。那麼透過$\pi _{I}$，$R$中包含$I$的極大理想對應於$R/I$的極大理想。

證明：從對應定理。$\Box$

區域性環

定義 12.10:

區域性環是一個只有一個極大理想的環。

定理 12.11（區域性環的特徵）:

令$R$為一個環。以下是等價的

1. $R$ 是一個區域性環。
2. 如果 $a+b$ 是一個單位元，則 $a$ 或 $b$ 是一個單位元，其中 $a,b\in R$ 是任意的。
3. 所有非單位元的集合構成一個極大理想。
4. 如果 $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ 其中 $r_{1}+\cdots +r_{n}$ 是一個單位元，則 $r_{j}$ 中的其中一個是一個單位元。
5. 如果 $r\in R$ 是任意的，則 $r$ 或 $1-r$ 是一個單位元。

證明:

1. $\Rightarrow$ 2.: 假設 $a$ 和 $b$ 都是非單位元。則 $\langle a\rangle$ 和 $\langle b\rangle$ 是 $R$ 的真理想，因此根據定理 12.7，它們包含在 $R$ 的某個極大理想中。但 $R$ 只有一個極大理想 $m$，因此 $a,b\in m$，因此 $a+b\in m$。極大理想不能包含單位元。

2. $\Rightarrow$ 3.: 兩個非單位元的和是一個非單位元，如果 $a$ 是一個非單位元，並且 $r\in R$，那麼 $ra$ 是一個非單位元（因為如果 $sra=1$，那麼 $sr$ 是 $a$ 的逆元）。因此，所有非單位元形成一個理想。$R$ 的任何真理想只包含非單位元，因此這個理想是極大的。

3. $\Rightarrow$ 4.: 假設 $r_{j}$ 全部都是非單位元。由於非單位元形成一個理想，所以 $r_{1}+\cdots +r_{n}$ 包含在非單位元理想中，矛盾。

4. $\Rightarrow$ 5.: 假設 $r$，$1-r$ 是非單位元。那麼 $1=r+(1-r)$ 是一個非單位元，矛盾。

5. $\Rightarrow$ 1.: 令 $m,n\leq R$ 為兩個不同的最大理想。那麼 $m+n=R$，因此 $1=s+t$，$s\in m$，$t\in n$，也就是說，$s=1-t$。$t$ 不是一個單位，所以 $1-t=s$ 是，矛盾。 $\Box$

在素理想上的區域性化

在第 9 章中，我們已經看到了如何在乘法封閉子集 $S$ 上對環進行區域性化。一個重要的特例是 $S=R\setminus p$，其中 $p$ 是一個素理想。

引理 12.12:

令 $p\leq R$ 為環中的一個素理想。那麼 $S:=R\setminus p\subseteq R$ 是乘法封閉的。

證明: 令 $a,b\notin p$。那麼 $ab$ 不可能在 $p$ 中，因此 $ab\in S$。 $\Box$

定義 12.13:

令 $p\leq R$ 為環中的一個素理想。設 $S:=R\setminus p$。那麼

$R_{p}:=S^{-1}R$

被稱為環 $R$ 在素理想 $p$ 處的區域性化.

定理 12.14:

設 $R$ 是一個環，$p\leq R$ 是一個素理想。那麼 $R_{p}$ 是一個區域性環。

證明:

令 $S:=R\setminus p$，則 $R_{p}=S^{-1}R$。令

$m:=\{r/s|r\in p,s\in S\}\subseteq S^{-1}R$.

所有 $m$ 的元素都不是單位，所有 $R_{p}\setminus m$ 的元素形式為 $r'/t$，其中 $r'\notin p$，$t\in S$，因此是單位。進一步，$m$ 是一個理想，因為 $p$ 是一個理想，並且根據 $S^{-1}R$ 的加法和乘法的定義，以及 $S$ 是乘法封閉的。因此 $R_{p}$ 是一個區域性環。$\Box$

這最終解釋了為什麼我們會談論區域性化。