交換代數/阿貝爾範疇內的圖示追逐

阿貝爾群的精確序列

定義 4.1 (序列):

給定 $n$ 個阿貝爾群 $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ 和 $n-1$ 個態射（也就是說，因為我們在阿貝爾群的範疇內，是群同態）

$\varphi _{j}:A_{j}\to A_{j+1}$,

我們可以定義所有這些為一個阿貝爾群的序列，並用以下符號表示它

$A_{1}{\overset {\varphi _{1}}{\longrightarrow }}A_{2}{\overset {\varphi _{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {\varphi _{n-2}}{\longrightarrow }}A_{n-1}{\overset {\varphi _{n-1}}{\longrightarrow }}A_{n}$.

注意，如果其中一個物件是平凡群，我們用 $0$ 表示它，並簡單地省略指向它和從它發出的箭頭的描述，因為平凡群是阿貝爾群範疇中的零物件。

還有無限精確序列，用以下形式的符號表示

$A_{1}{\overset {\varphi _{1}}{\longrightarrow }}A_{2}{\overset {\varphi _{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {\varphi _{n-2}}{\longrightarrow }}A_{n-1}{\overset {\varphi _{n-1}}{\longrightarrow }}A_{n}{\overset {\varphi _{n}}{\longrightarrow }}\cdots$;

它只是不斷地進行下去。精確序列是無限的，意味著我們有一個物件序列（在經典意義上），以及另一個這些物件之間態射的經典序列（在這裡，兩個序列具有相同的基數：可數無限）。

定義 4.2 (精確序列):

給定序列

$A_{1}{\overset {\varphi _{1}}{\longrightarrow }}A_{2}{\overset {\varphi _{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {\varphi _{n-2}}{\longrightarrow }}A_{n-1}{\overset {\varphi _{n-1}}{\longrightarrow }}A_{n}$

稱為精確的，當且僅當對於所有 $i$，

$\operatorname {im} \varphi _{i}=\ker \varphi _{i+1}$.

這個概念有一個基本例子。

例 4.3 (短精確序列):

短精確序列只是一個以下形式的精確序列

$0\longrightarrow A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

對於合適的阿貝爾群 $A,B,C$ 和群同態 $f:A\to B,g:B\to C$.

這個序列的精確性意味著，考慮零態射的像和核的形式

1. $f$ 單射
2. $\ker g=\operatorname {im} f$
3. $g$ 滿射。

示例 4.4:

令 $A:=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$, $B:=\mathbb {Z} /15\mathbb {Z}$, $C:=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$，其中我們只考慮加法群結構，並定義群同態

$f:A\to B,f(n+3\mathbb {Z} ):=5n+15\mathbb {Z}$ 和 $g:B\to C,g(n+15\mathbb {Z} ):=n+5\mathbb {Z}$.

這給出了一個短精確序列

$0\longrightarrow A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$,

這很容易驗證。

類似的構造可以對自然數的任何分解 $k=m\cdot j$ 進行（在我們的例子中，$k=15$，$m=3$，$j=5$）。

圖示追蹤：短五引理

現在，我們想在阿貝爾群的情況下簡要地舉例說明一種極其重要的證明方法，稱為圖示追蹤。我們稍後想推廣這種方法，我們將看到經典的圖示引理在極大的普遍性中成立（包括我們下面的例子），即在阿貝爾範疇的普遍性中（將在下面介紹）。

定理 4.5（短五引理）:

假設我們有一個交換圖

,

其中兩行是精確的。如果 $g$ 和 $h$ 是同構，那麼 $f$ 也必須是同構。

證明:

首先，我們證明 $f$ 是單射的。令 $f(b)=0$ 對於某個 $b\in B$ 成立。由於給定的圖是交換的，所以有 $0=t(f(b))=h(q(b))$，並且由於 $h$ 是一個同構，所以 $q(b)=0$。由於上行是精確的，因此可以推出 $b\in \operatorname {im} p$，也就是說，$b=p(a)$ 對於某個合適的 $a\in A$ 成立。因此，給定圖的交換性意味著 $0=f(b)=f(q(a))=s(g(a))$，因此 $a=0$，因為 $s\circ g$ 作為兩個單射對映的複合是單射的。因此，$b=q(a)=q(0)=0$.

接下來，我們證明 $f$ 是滿射。因此，令 $b'\in B'$ 為給定。設定 $c':=t(b')$。由於 $h\circ q$ 作為兩個滿射對映的複合是滿射，存在 $b\in B$ 使得 $h(q(b))=c'$。給定圖表的交換性得到 $t(f(b))=c'$。因此，根據線性，$t(f(b)-b')=0$，因此 $f(b)-b'\in \ker t=\operatorname {im} s$，並且由於 $g$ 是一個同構，我們發現 $a\in A$ 使得 $s(g(a))=f(b)-b'$。圖表的交換性得到 $f(b)-b'=s(g(a))=f(p(a))$，因此 $f(b-p(a))=b'$。$\Box$

加法範疇

定義 4.6:

加法範疇是一個範疇 ${\mathcal {C}}$，滿足以下條件

1. $\operatorname {Hom} (a,b)$ 是所有物件 $a,b$ 的 ${\mathcal {C}}$ 中的阿貝爾群。
2. 箭頭的合成

$\circ :\operatorname {Hom} (b,c)\times \operatorname {Hom} (a,b)\to \operatorname {Hom} (a,c)$

是雙線性；也就是說，對於 $f,f'\in \operatorname {Hom} (b,c)$ 和 $g,g'\in \operatorname {Hom} (b,c)$，我們有

$(f+f')\circ (g+g')=f\circ g+f'\circ g+f\circ g'+f'\circ g'$

（注意，由於沒有涉及標量乘法，這個雙線性定義比向量空間中的雙線性定義要少。）

3. ${\mathcal {C}}$ 有一個零物件。
4. 每對物件 $a,b$ 的 ${\mathcal {C}}$ 都有一個雙積 $a\oplus b$.

雖然加法範疇本身很重要，但我們只將它們作為定義阿貝爾範疇的中間步驟。

阿貝爾範疇

定義 4.7:

一個阿貝爾範疇是一個加法範疇 ${\mathcal {C}}$，它還滿足以下條件：

1. ${\mathcal {C}}$ 中的每個箭頭都有一個核和一個餘核，並且
2. ${\mathcal {C}}$ 中的每個單射箭頭都是某個箭頭的核，每個滿射箭頭都是某個箭頭的餘核。

我們現在著手在阿貝爾範疇中獲得箭頭的規範分解。

引理 4.8:

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個具有零物件的範疇，並且所有箭頭都有核和餘核。則 ${\mathcal {C}}$ 中的每一個箭頭 $f$ 都可以分解為

$f=kq$,

其中 $k=\ker(\operatorname {coker} f))$.

證明:

這種分解來自於以下交換圖，我們稱 $u:=\operatorname {coker} f$ 以及 $k:=\ker(\operatorname {coker} f)$

事實上，由 $k$ 作為核的性質，並且由於 $u\circ f=0$，$f$ 可以唯一地分解為 $k$.$\Box$

在阿貝爾範疇中，$q$ 甚至是一個單射

引理 4.9:

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個阿貝爾範疇。如果 $k=\ker(\operatorname {coker} f)$，並且我們有任意分解 $f=kq$，則 $q$ 是一個滿射。

證明:

定理 4.10:

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個阿貝爾範疇。則 ${\mathcal {C}}$ 中的每一個箭頭 $f$ 都可以分解為

$f=me$,

其中 $m=\ker(\operatorname {coker} f)$ 且 $e=\operatorname {coker} (\ker f)$.

阿貝爾範疇中的精確序列

我們首先在一般情況下定義一個態射的像。

定義 4.12:

令 $f$ 是一個（這次是任意的）範疇 ${\mathcal {C}}$ 中的態射。如果存在，一個 $f$ 的餘核的核被稱為 $f$ 的像。

構造 4.13:

我們現在將在所有餘域為某個 $c\in {\mathcal {C}}$ 的態射集合 $P_{c}$ 上構造一個等價關係，其中 ${\mathcal {C}}$ 是一個範疇。我們令

$f\leq g:\Leftrightarrow f=gf'$ 對於一個合適的 $f'$（也就是說，$f$ 透過 $g$ 分解）。

此關係是傳遞的和自反的。因此，如果我們定義

$f\sim g:\Leftrightarrow f\leq g\wedge g\leq f$,

我們得到了一個等價關係（事實上，透過這種方式，我們總是可以從傳遞的和自反的二元關係，即預序，構造一個等價關係）。

有了像，我們就可以在一般情況下繼續定義序列、精確序列和短精確序列。

定義 4.14:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一個阿貝爾範疇。

定義 4.15:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一個阿貝爾範疇。

定義 4.16:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一個阿貝爾範疇。

阿貝爾範疇中的圖示追蹤

現在我們來談談我們一直在努力的目標。在普通的圖示追蹤中，我們使用了集合的元素。現在我們將以簡單的方式用箭頭替換這些元素：我們不再關注某個物件$a$的“元素”"$x\in a$"，而是關注指向該元素的箭頭；也就是說，對於阿貝爾範疇${\mathcal {C}}$中的任意物件$d$，箭頭$x:d\to a$。對於“箭頭$x$的陪域是$a$”，我們寫

$x\in _{m}a$,

其中下標$m$代表“成員”。

現在我們用範疇論中的成員概念替換了集合中元素的概念。我們還需要替換兩個元素相等的的概念。我們不希望兩個箭頭相等，因為這樣我們就不會得到用於追蹤圖示的通常規則。相反，我們定義了陪域為$a$（即$a$的成員）的箭頭上的另一種等價關係。以下引理將有助於此目的。

引理 4.18（平方完成）:

構造 4.19（第二等價關係）:

現在我們終於能夠證明命題，它將使我們能夠使用我們應用於阿貝爾群（或模，或任何其他阿貝爾範疇）的圖示追蹤技術的圖示追蹤。

定理 4.20（圖示追蹤啟用定理）:

令${\mathcal {C}}$為阿貝爾範疇，$a$為${\mathcal {C}}$中的一個物件。我們有以下關於態射性質的規則

1. $f:a\to b$是單態當且僅當$\forall x\in _{m}a:fx\equiv 0\Rightarrow x\equiv 0$.
2. $f:a\to b$ 是單一同態當且僅當 $\forall x,x'\in _{m}a:fx\equiv fx'$。
3. $f:a\to b$ 是滿一同態當且僅當 $\forall y\in _{m}b:\exists x\in _{m}a:fx\equiv y$。
4. $f:a\to b$ 是零態射當且僅當 $\forall x\in _{m}a:fx\equiv 0$。
5. 序列 $a{\overset {f}{\longrightarrow }}b{\overset {g}{\longrightarrow }}c$ 是精確的當且僅當
   1. $gf=0$ 且
   2. 對於每個 $y\in _{m}b$ 滿足 $gy\equiv 0$，存在 $x\in _{m}a$ 使得 $fx\equiv y$。
6. 如果 $f:a\to b$ 是一個態射，使得 $fx\equiv fy$，則存在 $a$ 中的元素，我們稱之為 $(x-y)$（括號表示這是一個單獨的態射），使得
   1. $f(x-y)\equiv 0$
   2. $gx\equiv 0\Rightarrow g(x-y)\equiv -gy$
   3. $hy\equiv 0\Rightarrow h(x-y)\equiv hx$

因此，我們構建了一個相對複雜的機制，以將我們的圖表追蹤證明技巧（相當豐富）提升到阿貝爾範疇的抽象層次。

圖表引理的例子

定理 4.21（長五引理）:

定理 4.22（蛇形引理）: