交換代數/分數，湮滅子

環內的分數

定義 9.1:

設 $R$ 為交換環，設 $S\subseteq R$ 為任意子集。 $S$ 稱為乘法封閉當且僅當滿足以下兩個條件

1. $1\in S$
2. $a,b\in S\Rightarrow ab\in S$

定義 9.2:

設 $R$ 為環，設 $S\subseteq R$ 為乘法封閉子集。定義

$S^{-1}R:=\{r/s|r\in R,s\in S\}/\sim _{S}$,

其中等價關係 $\sim _{S}$ 定義為

$r/s\sim _{S}u/t:\Leftrightarrow \exists i\in S:i(rt-su)=0$.

賦予其加法

$r/s+u/t:=(rt+us){\big /}st$

和乘法

$r/s\cdot u/t:=(ru){\big /}st$.

以下兩個引理確保一切都定義正確。

引理 9.3:

$\sim _{S}$ 是等價關係。

證明:

對於自反性和對稱性，沒有發生什麼有趣的事情。對於傳遞性，有一個小小的變化。假設

$r/s\sim _{S}u/t$ 和 $u/t\sim _{S}v/w$.

那麼存在 $i,j\in S$ 使得

$i(rt-su)=0$ 以及 $j(uw-tv)=0$.

但在此情況下，我們有

$ijt(rw-vs)=ij(rwt-vst)=ij(rwt-suw+suw-vst)=0$;

注意 $ijt\in S$，因為 $S$ 在乘法下封閉。 $\Box$

引理 9.4:

上面給出的加法和乘法將 $S^{-1}R$ 變為一個環。

證明:

我們只證明定義良好性；其他規則遵循定義和直接計算。

因此，設 $r/s\sim _{S}u/t$ 以及 $a/p\sim _{S}b/q$.

因此，我們有 $i(rt-su)=0$ 以及 $j(aq-bp)=0$ 對於合適的 $i,j\in S$.

我們想要

$(rp+as){\big /}sp=(uq+bt){\big /}tq$

以及

$ra{\big /}sp=ub{\big /}tq$.

這些轉化為

$x((rp+as)tq-(uq+bt)sp)=0$

以及

$y(ratq-ubsp)=0$

對於合適的 $x,y\in S$。透過選擇 $x=y=ij$ 並觀察，我們得到了想要的結果

$ij(ratq-ubsp)=ij(ratq-sauq+sauq-ubsp)=0$

以及

$ij((rp+as)tq-(uq+bt)sp)=ij(rptq+astq-uqsp-btsp)=0$.$\Box$

請注意，我們在這裡大量使用了交換律。

定理 9.5（增廣的性質）:

令 $R$ 為環，$S\subseteq R$ 為乘法封閉的。設

$\pi _{S}:R\mapsto S^{-1}(R),\pi _{S}(r):=r/1$,

為投影態射。那麼

1. $s\in S\Rightarrow \pi _{S}(s)$ 為一個單位元。
2. $\pi _{S}(r)=0\Rightarrow rs=0$ 對於某個 $s\in S$ 成立。
3. $S^{-1}R$ 中的每個元素都具有 $\pi _{S}(r)\pi _{S}(s)^{-1}$ 的形式，其中 $r\in R$，$s\in S$ 是合適的。
4. 令 $I,J\leq R$ 為理想。那麼 $S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}(I\cdot J)$，其中

$S^{-1}I:=\{i/s|i\in I,s\in S\}$.

1. 令$I\leq R$ 為一個理想。如果$S\cap I\neq \emptyset$，則$\pi _{S}(I)=S^{-1}R$。

我們將在討論模組時看到更多類似於 4 的性質，但由於模組中可能沒有兩個模組元素的乘積，因此我們無法用完全通用的方式來表達它。

證明:

1.:

如果$s\in S$，則$S^{-1}R$ 的乘法規則表明$1/s$ 是$\pi _{S}(s)=s/1$ 的逆。

2.:

假設$r/1=0=0/1$。則存在$s\in S$ 使得$s(r-0)=sr=0$。

3.:

令$r/s$ 為$S^{-1}R$ 的任意元素。則$r/s=r/1\cdot 1/s=\pi _{S}(r)\pi _{S}(s)^{-1}$。

4.

${\begin{aligned}r/s\in S^{-1}(I\cdot J)&\Leftrightarrow r/s=ij/t,i\in I,j\in J,t\in S\\&\Leftrightarrow r/s=(i/t)(j/1),i\in I,j\in J,t\in S\\&\Leftrightarrow r/s\in S^{-1}I\cdot S^{-1}J\end{aligned}}$

5.

令 $I\cap S\neq \emptyset$，也就是說，$s\in S\cap I$。那麼 $\pi _{S}(s)\in \pi _{S}(I)$，其中 $\pi _{S}(s)$ 是 $S^{-1}R$ 中的一個單位。此外，$\pi _{S}(I)$ 是 $S^{-1}R$ 中的理想，因為 $\pi _{S}$ 是一個態射。因此，$\pi _{S}(I)=S^{-1}R$。$\Box$

定理 9.6（泛性質）:

令 $R$ 為一個環，$S\subseteq R$ 為一個乘法封閉集，令 $T$ 為另一個環，令

$f:R\to T$

為一個態射，使得對所有 $s\in S$，$f(s)\in T^{\times }$。那麼存在唯一的態射

$g:S^{-1}R\to T$

使得

$f=g\circ \pi _{S}$.

證明:

我們首先證明唯一性。假設存在另一個這樣的態射 $g'$。那麼我們會有

$g'(r/s)=g'(r/1)g'(s/1)^{-1}=f(r)f^{-1}=g(r/1)g(s/1)^{-1}$.

然後我們證明存在性; 我們聲稱

$g(r/s):=f(r)(f(s))^{-1}$

定義了所需的態射。

首先，我們展示良定義性。

首先，$f(s)^{-1}$ 對$s\in S$ 存在。

其次，令$r/s\sim _{S}u/t$，即$i(rt-su)=0$。 那麼

${\begin{aligned}g(r/s)&=g(itr/its)\\&=f(itr)(f(its))^{-1}\\&=f(isu)(f(its))^{-1}\\&=g(isu/its)=g(u/t).\end{aligned}}$

該態射的乘法性在視覺上很明顯（使用$f\circ \pi _{S}$ 是一個態射和交換性）；加法性證明如下

${\begin{aligned}g(r/s+u/t)&=g\left((rt+su){\big /}st\right)\\&=f(rt+su)(f(st))^{-1}\\&=f(rt)(f(st))^{-1}+f(su)(f(st))^{-1}\\&=g(r/s)+g(u/t).\end{aligned}}$

很明顯，該單元對映到該單元。 $\Box$

定理 9.7:

範疇論語境

模中的分數

定義 9.8:

令 $R$ 為環，$S\subseteq R$ 為 $R$ 的乘法子集，$M$ 為 $R$-模。令 $S^{-1}R$ 為環 $R$ 添加了 $S$ 的逆元。我們定義 $S^{-1}R$-模 $S^{-1}M$ 如下所示

$S^{-1}M:=\left\{m/s{\big |}m\in M\right\}/\sim _{S}$（形式分數），

其中再次

$m/s\sim _{S}n/t:\Leftrightarrow \exists u\in S:u(tm-sn)=0$,

加法為

$m/s+n/t:=(tm+sn)/st$

模運算為

$r/s~~m/t:=rm/st$.

注意，將此結構應用於環 $R$，它本身是典型的 $R$-模，我們得到的只是 $S^{-1}R$，它本身是典型的 $S^{-1}R$-模，因為乘法和加法是重合的。因此，這裡有一個概括！

一切都定義良好，這一點與上一節中的情況完全相同；證明逐字地適用。

定理 9.9（擴充模的性質）:

設 $M$ 是一個 $R$-模，設 $S\subseteq M$ 是 $R$ 的一個乘法封閉子集，設 $N,K\leq M$ 是子模。那麼

1. $S^{-1}(N+K)=S^{-1}N+S^{-1}K$,
2. $S^{-1}(N\cap K)=S^{-1}N\cap S^{-1}K$，並且
3. $S^{-1}(M/N)\cong (S^{-1}M)/(S^{-1}N)$;

在前面兩個等式中，所有模被視為 $S^{-1}M$ 的子模（如上所述，類似於 $S^{-1}I$），在第三個同構關係中，這些模被視為獨立的 $S^{-1}R$-模。

證明:

1.

${\begin{aligned}m/s\in S^{-1}(N+K)&\Leftrightarrow m/s=(n+k)/t,t\in S,n\in N,k\in K\\&\Leftrightarrow m/s=n/t+k/t,t\in S,n\in N,k\in K\\&\Leftrightarrow m/s\in S^{-1}N+S^{-1}K;\end{aligned}}$

注意，為了從第三行回到第二行，我們使用子模對 $R$ 的元素的乘法封閉性來使分母相同，從而得到合適的 $t\in S$（$S$ 對乘法封閉）。

2.

${\begin{aligned}m/s\in S^{-1}(N\cap K)&\Leftrightarrow m/s=l/t,t\in S,l\in N\cap K\\&\Leftrightarrow m/s=n/u=k/v,u,v\in S,n\in N,k\in K\\&\Leftrightarrow m/s\in S^{-1}N\cap S^{-1}K;\end{aligned}}$

從第二行到第一行，我們注意到 $n/u=k/v\Leftrightarrow w(vn-uk)=0$ 對於一個合適的 $w\in S$，特別地，例如

$m/s=wvn/wvu$,

其中 $wvn=wuk\in N\cap K$.

3.

我們設定

$\varphi :S^{-1}(M/N)\to (S^{-1}M)/(S^{-1}N),\varphi ((m+N)/s):=m/s+S^{-1}N$

並證明這是一個同構。

首先，我們證明其定義良好。事實上，如果 $m+N=m'+N$，那麼 $m-m'\in N$，因此 $(m-m')/s\in S^{-1}N$ 並且因此 $m/s+S^{-1}N=m'/s+S^{-1}N$.

然後我們證明滿射。設 $m/s+S^{-1}N$ 給定。那麼顯然 $(m+N)/s$ 被對映到該元素。

然後我們證明單射性。假設 $m/s\in S^{-1}N$。那麼 $m/s=n/t$，其中 $n\in N$ 且 $t\in S$，也就是說 $u(tm-sn)=0$，對於適當的 $u\in S$。那麼 $utm\in N$，因此 $(m+N)/s=(utm+N)/uts=0$。$\Box$

定理 9.10:

張量積和分數相關的函子

定理 9.11:

令 $M,N$ 為 $R$-模，且 $S\subseteq R$ 為乘法閉集。那麼

$S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N\cong S^{-1}(M\otimes _{R}N)$.

證明:

練習

• 練習 9.2.1：令 $M,N$ 為 $R$-模，且 $I\leq R$ 為理想。證明 $IM:=\{im|i\in I,m\in M\}$ 是 $M$ 的子模，且 $(M\otimes _{R}N)/I(M\otimes _{R}N)\cong (M/I)\otimes _{R/I}(N/I)$（此練習旨在練習定理 9.11 中使用的證明技術）。

零化子，忠實性

定義 9.12:

設 $R$ 是一個環，$M$ 是 $R$ 上的一個模，$S\subseteq M$ 是任意子集。那麼 $S$ 關於 $M$ 的 **零化子** 定義為集合

${\text{Ann}}_{R}(S):=\{r\in R|\forall s\in S:rs=0\}$.

定理 9.13:

設 $R$ 是一個環，$M$ 是 $R$ 上的一個模，$S\subseteq M$ 是任意子集。那麼 ${\text{Ann}}_{R}(S)$ 是 $R$ 的一個理想。

證明:

設 $a,b\in {\text{Ann}}_{R}(S)$ 且 $r\in R$。則對於所有 $s\in S$，$(ra-b)s=r(as)-bs=0$。因此由引理 5.3 可知該定理成立。$\Box$

定義 9.14:

如果 ${\text{Ann}}_{R}M=\{0\}$，則稱 $R$-模 $M$ 為忠實模。

定理 9.15:

設 $R$ 為一個環，則 $R$ 作為自身上的 $R$ 模是忠實的。

證明：設 $s\in R$ 使得 $\forall r\in R:rs=0$。特別地，$s1=0$。$\Box$

定理 9.16:

設 $M$ 為 $R$-模，$S\subseteq M$ 為任意子集。設 $\langle S\rangle =:N\leq M$ 為 $M$ 由 $S$ 生成的子模。則 ${\text{Ann}}_{R}S={\text{Ann}}_{R}N$。

證明:

根據定義，顯然 ${\text{Ann}}_{R}N\subseteq {\text{Ann}}_{R}S$，因為使 $N$ 中所有元素都變為零的條件比僅使 $S$ 中所有元素都變為零的條件更強。

現在令 $t\in {\text{Ann}}_{R}S$ 且 $x_{1}s_{1}+\cdots x_{n}s_{n}\in N$，其中 $x_{j}\in R$ 且 $s_{j}\in S$。那麼 $t(x_{1}s_{1}+\cdots x_{n}s_{n})=x_{1}ts_{1}+\cdots x_{n}ts_{n}=0+0+\cdots +0=0$。$\Box$

區域性性質

定義 9.17:

令 $M$ 為 $R$-模（其中 $R$ 是一個環），並令 $p\leq R$ 為素理想。那麼 $M$ 關於 $p$ 的 **區域性化**，記為

$M_{p}$,

定義為 $S^{-1}M$，其中 $S:=R\setminus p$；注意 $S$ 是乘法封閉的，因為 $p$ 是素理想。

定義 9.18:

模可以擁有的性質（例如等於零）被稱為 **區域性-全域性性質**，當且僅當以下等價

1. $M$ 具有性質 (*)。
2. $S^{-1}M$ 對於所有乘法封閉的 $S\subseteq R$ 具有性質 (*)。
3. $M_{p}$ 對於所有素理想 $p\leq R$ 具有性質 (*)。
4. $M_{m}$ 對於所有極大理想 $m\leq R$ 具有性質 (*)。

定理 9.19:

等於零是一個區域性-全域性性質。

證明:

我們根據定義 9.12 檢查 1. - 4. 的等價性。顯然，4. $\Rightarrow$ 1. 就足夠了。

假設 $N$ 是一個非零模，即我們有 $n\in N$ 使得 $n\neq 0$。根據定理 9.11，$\operatorname {Ann} _{R}(n):=\operatorname {Ann} _{R}(\{n\})$ 是 $R$ 的一個理想。因此，它包含在 $R$ 的某個極大理想中，稱為 $m$（不幸的是，我們必須參考後面的章節，因為我們希望分別處理不同的代數物件。所需的定理是定理 12.2）。然後對於 $s\in R\setminus m$ 我們有 $sn\neq 0$ 因此 $n/1\neq 0/1$ 在 $M_{m}$ 中。$\Box$

以下定理並沒有真正描述區域性-全域性性質，但它們當然很相似，也許與那些性質相關。

定理 9.20:

如果 $f:M\to N$ 是一個態射，則以下等價

1. $f:M\to N$ 滿射。
2. $f_{S}:S^{-1}M\to S^{-1}N$ 對所有$S\subseteq R$ 乘法封閉的都是滿射。
3. $f_{p}:M_{p}\to N_{p}$ 對所有$p\leq R$ 素數都是滿射。
4. $f_{m}:M_{m}\to N_{m}$ 對所有$m\leq R$ 極大理想都是滿射。

證明: