交換代數/分數、零化子、商理想

兩個理想的商

定義 19.1:

令 $R$ 為一個環，並令 $I,J\leq R$ 為理想。那麼商理想 $(I:J)$（也可以寫成 $I/J$）被定義為

$(I:J):=\{r\in R|rJ\subseteq I\}$.

我們注意到一些性質

定理 19.2（商理想的性質）:

令 $R$ 為一個環，並令 $I,J,K\leq R$ 為理想。

1. $I\cdot J\subseteq K\Leftrightarrow I\subseteq (K:J)$
2. $J\subseteq I\Leftrightarrow (I:J)=R$
3. $(I:J+K)=(I:J)\cap (I:K)$
4. $(I\cap J:K)=(I:K)\cap (J:K)$ 並且，更一般地，$\cap _{i\in I}(I_{i}:K)=(\cap _{i\in I}I_{i}:K)$

第 1 和 2 點使將這些理想稱為“商”成為可能，而第 3 和 4 點則較不明顯（儘管當在分母中新增元素或縮小分子時，理想仍然變小）。

證明:

1. $I\cdot J\subseteq K\Leftrightarrow \forall i\in I:iJ\subseteq K\Leftrightarrow I\subseteq (K:J)$

2. $J\subseteq I\Leftrightarrow \forall r\in R:rJ\subseteq J\subseteq I$

3.

${\begin{aligned}r\in (I:J+K)&\Leftrightarrow r(J+K)\subseteq I\\&\Leftrightarrow rJ\subseteq I\wedge rK\subseteq I\\&\Leftrightarrow r\in (I:J)\cap (I:K),\end{aligned}}$

其中中間等價關係成立，因為 $r(J+K)$ 是包含 $rJ$ 和 $rK$ 的最小理想，因此包含在任何包含後兩個理想的理想中。

4.

${\begin{aligned}r\in (\cap _{i\in I}I_{i}:K)&\Leftrightarrow rK\in \cap _{i\in I}I_{i}\\&\Leftrightarrow \forall i\in I:rK\in I_{i}\\&\Leftrightarrow \forall i\in I:r\in (I_{i}:K)\\&\Leftrightarrow r\in \cap _{i\in I}(I_{i}:K)\end{aligned}}$

$\Box$

定義 19.3:

在 $J=\langle x\rangle$ 是 $x\in R$ 的情況下，我們寫

$(I:J)=:(I:x)$

對於 $I\leq R$.

練習

• 練習 19.1.1: 證明對於環 $R$ 和任何理想 $I\leq R$，$(R:I)=R$ 和 $(I:R)=I$.