交換代數/生成元和鏈條件

生成元

定義 6.1（模的生成元）:

設 $M$ 是環 $R$ 上的一個模。 $M$ 的一個**生成集**是 $\{m_{j}\}_{j\in J}\subseteq M$ ，使得

\forall n\in M:\exists j_{1},\ldots ,j_{k}\in J,r_{1},\ldots ,r_{k}\in R:n=\sum _{l=1}^{k}r_{l}m_{j_{l}}

.

示例 6.2:

對於每個模 $M$ ，整個模本身就是一個生成集。

定義 6.3:

設 $M$ 是一個模。 $M$ 被稱為**有限生成**，如果存在 $M$ 的一個生成集，其基數是有限的。

**示例 6.4**：每個環 $R$ 都是一個有限生成的 $R$ -模，生成集由 $\{1_{R}\}$ 給出。

定義 6.5（生成的子模）:

練習

諾特模和阿廷模

定義 6.6（諾特模）:

設 $M$ 是環 $R$ 上的一個模。 $M$ 被稱為**諾特模**當且僅當對於所有升鏈的子模

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq N_{3}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq \cdots

的 $M$ ，存在一個 $l\in \mathbb {N}$ 使得

\forall k\geq l:N_{k}=N_{l}

.

我們也說子模的上升鏈最終會變得穩定。

定義 6.7（Artinian 模組）:

一個在環 $R$ 上的模 $M$ 被稱為Artinian 模組，當且僅當對於每個子模的下降鏈

N_{1}\supseteq N_{2}\supseteq N_{3}\supseteq \cdots \supseteq N_{k}\supseteq \cdots

的 $M$ ，存在一個 $l\in \mathbb {N}$ 使得

\forall k\geq l:N_{k}=N_{l}

.

我們也說子模的下降鏈最終會變得穩定。

我們可以看到這些定義是相似的，儘管它們定義了一些不同的物件。

使用選擇公理，我們對 Noetherian 模組有以下刻畫

定理 6.8:

令 $M$ 是在 $R$ 上的模。以下等價

$M$ 是 Noetherian。
$M$ 的所有子模都是有限生成的。
$M$ 的所有子模的非空集都有一個最大元素。

證明 1:

我們證明 1. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 3. $\Rightarrow$ 1.

1. $\Rightarrow$ 2.: 假設存在 $M$ 的一個子模 $N$ ，它不是有限生成的。使用依賴選擇公理，我們選擇一個在 $N$ 中的序列 $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 使得

\forall k\in \mathbb {N} :\langle n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle \subsetneq \langle n_{1},\ldots ,n_{k+1}\rangle

;

由於 $N$ 不是有限生成的，因此我們可以始終選擇 $n_{k+1}\in N\setminus \langle n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle$ ，從而找到這樣的序列。因此，我們有以下子模的遞增序列

\langle n_{1}\rangle \subsetneq \langle n_{1},n_{2}\rangle \subsetneq \cdots \subsetneq \langle n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle \subsetneq \langle n_{1},\ldots ,n_{k+1}\rangle \subsetneq \cdots

它不會穩定。

2. $\Rightarrow$ 3.: 令 ${\mathcal {M}}$ 是 $M$ 的子模的非空集。根據佐恩引理，我們只需證明 ${\mathcal {N}}$ 中的每個鏈都有一個上界（當然，我們的偏序關係是集合包含，即 $N_{1}\leq N_{2}:\Leftrightarrow N_{1}\subseteq N_{2}$ ）。因此，令 ${\mathcal {N}}$ 是 ${\mathcal {M}}$ 中的鏈。我們寫

{\mathcal {N}}=\left(N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \right)=\left(\langle n_{1},\ldots ,n_{k_{1}}\rangle \subseteq \langle n_{1},\ldots ,n_{k_{1}},n_{k_{1}+1},\ldots ,n_{k_{2}}\rangle \subseteq \cdots \right)

.

由於每個子模都是有限生成的，因此

\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},n_{k+1},\ldots \rangle =\langle m_{1},\ldots ,m_{l}\rangle

.

我們寫 $m_{j}=\sum _{u\in \mathbb {N} }r_{u}n_{u}$ ，其中只有有限個 $r_{u}$ 不為零。因此，我們有

\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},n_{k+1},\ldots \rangle =\langle n_{u_{1}},\ldots ,n_{u_{r}}\rangle

對於適當選擇的 $u_{1},\ldots ,u_{r}$ 。現在每個 $u_{i}$ 最終都包含在某個 $N_{j}$ 中。由於 $N_{j}$ 是關於包含的升序序列，我們可以選擇足夠大的 $j$ 使所有 $u_{i}$ 都包含在 $N_{j}$ 中。因此， $N_{j}$ 是我們想要的上限。

3. $\Rightarrow$ 1.: 設

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

構成 $M$ 的子模的上升鏈。集合 $\{N_{j}|j\in \mathbb {N} \}$ 有一個最大元素 $N_{l}$ ，因此此上升鏈在 $l$ 處變為固定。 $\Box$

證明 2:

我們證明 1. $\Rightarrow$ 3. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 1.

1. $\Rightarrow$ 3.: 令 ${\mathcal {N}}$ 是 $M$ 的子模的集合，它沒有最大元素。然後根據依賴選擇公理，對於每個 $N\in {\mathcal {N}}$ ，我們可以選擇 $N'\in {\mathcal {N}}$ 使得 $N\subsetneq N'$ （否則， $N$ 將是最大的）。因此，利用依賴選擇公理，並從一個完全任意的 $N_{1}\in {\mathcal {N}}$ 開始，我們找到一個上升序列

N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{k}\subsetneq N_{k+1}\subsetneq \cdots

它不會穩定。

3. $\Rightarrow$ 2.: 令 $N\leq M$ 不是有限生成的。使用依賴選擇公理，我們首先選擇一個任意的 $x_{1}\in N$ ，並且給定 $x_{1},\ldots ,x_{k}$ ，我們選擇 $x_{k+1}$ 在 $N\setminus \langle x_{1},\ldots ,x_{k}\rangle$ 中。那麼子模的集合

\{\langle x_{1},\ldots ,x_{k}\rangle {\big |}k\in \mathbb {N} \}

沒有最大元，雖然它是非空的。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

是 $M$ 的子模的上升鏈。由於它們是有限生成的，我們有

\left(N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \right)=\left(\langle n_{1},\ldots ,n_{k_{1}}\rangle \subseteq \langle n_{1},\ldots ,n_{k_{1}},n_{k_{1}+1},\ldots ,n_{k_{2}}\rangle \subseteq \cdots \right)

對於適當的 $(k_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ 和 $(n_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ 。由於每個子模都是有限生成的，所以也是

\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},n_{k+1},\ldots \rangle =\langle m_{1},\ldots ,m_{l}\rangle

.

我們寫 $m_{j}=\sum _{u\in \mathbb {N} }r_{u}n_{u}$ ，其中只有有限個 $r_{u}$ 不為零。因此，我們有

\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},n_{k+1},\ldots \rangle =\langle n_{u_{1}},\ldots ,n_{u_{r}}\rangle

對於適當選擇的 $u_{1},\ldots ,u_{r}$ 。現在每個 $u_{i}$ 最終包含在某個 $N_{j}$ 中。因此，如果 $l$ 被選為這些 $j$ 的最大值，則該鏈在 $l$ 處穩定。 $\Box$

第二個證明可能更有優勢，因為它沒有使用 Zorn 引理，而 Zorn 引理需要完全選擇公理。

我們可以用以下方式描述 Noetherian 模和 Artinian 模

定理 6.9:

令 $M$ 是環 $R$ 上的模，並令 $N\leq M$ 。則以下等價

$M$ 是 Noetherian。
$N$ 和 $M/N$ 是 Noetherian 模。

證明 1:

我們直接證明定理。

1. $\Rightarrow$ 2.: $N$ 是 Noetherian 模，因為任何 $N$ 的子模的上升序列

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

也是 $M$ 的子模序列（檢查子模性質），因此最終會變得穩定。

$M/N$ 是 Noetherian 模，因為如果

M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots \subseteq M_{k}\subseteq M_{k+1}\subseteq \cdots

是 $M/N$ 的子模序列，我們可以寫成

M_{k}=N_{k}/N

,

其中 $N_{k}:=\{m+n|m+N\in M_{k},n\in N\}$ 。實際上，" $\subseteq$ " 來自 $m+N\in M_{k}\Rightarrow m+0+N\in N_{k}/N$ ，而 " $\supseteq$ " 來自

l+N\in N_{k}/N\Rightarrow \exists m+N\in M_{k},n,n'\in N:l=m+n+n'\Rightarrow l+N=m+N\in M_{k}

.

此外， $N_{k}$ 是 $M$ 的子模，如下所示

$l,l'\in N_{k}\Rightarrow \exists m+N,m'+N\in M_{k},n,n'\in N:l=m+n,l'=m'+n'\Rightarrow (m+m')+(n+n')=l+l'\in N_{k}$ ，因為 $m+m'+N\in M_{k}$ 並且 $n+n'\in N$ ，
$l\in N_{k}\Rightarrow \exists m+N\in M_{k},n\in N:l=m+n\Rightarrow al\in N_{k}$ ，因為 $a(m+N)\in M_{k}$ 並且 $an\in N$ 。

現在，對於每個 $k\in \mathbb {N}$ $N_{k}\subseteq N_{k+1}$ ，正如從 $N_{k}$ 的定義中可以看出，觀察到 $m+N\in M_{k},n\in N\Rightarrow m+N\in M_{k+1},n\in N$ 。因此，該序列

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

在某個 $j\in \mathbb {N}$ 處變為穩定。但如果 $N_{k}=N_{k+1}$ ，那麼 $M_{k}=M_{k+1}$ 也是如此，因為

m+N\in M_{k+1}\Rightarrow m\in N_{k+1}\Rightarrow m\in N_{k}\Rightarrow m=m'+n,m'\in M_{k},n\in N\Rightarrow m+N=m'+N\in M_{k}

.

因此，

M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots \subseteq M_{k}\subseteq M_{k+1}\subseteq \cdots

也變為穩定。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

是一個 $M$ 的子模上升序列。那麼

N\cap N_{1}\subseteq N\cap N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N\cap N_{k}\subseteq N\cap N_{k+1}\subseteq \cdots

是一個 $N$ 的子模上升序列，由於 $N$ 是 Noetherian 的，此序列在某個 $l\in \mathbb {N}$ 處穩定。此外，該序列

N_{1}/N\subseteq N_{2}/N\subseteq \cdots \subseteq N_{k}/N\subseteq N_{k+1}/N\subseteq \cdots

是一個 $M/N$ 的子模的遞增序列，它也穩定（在 $j\in \mathbb {N}$ ，比如說）。設 $N:=\max\{l,j\}$ ，並令 $k\geq N$ 。令 $n\in N_{k+1}$ 。那麼 $n+N\in N_{k+1}/N$ ，因此 $n+N\in N_{k}/N$ ，也就是說 $n=m+n'$ ，其中 $m\in N_{k}$ 且 $n'\in N$ 。現在 $n'=n-m\in N_{k+1}$ ，因此 $n'\in N_{k+1}\cap N=N_{k}\cap N$ 。因此 $n\in N_{k}$ 。因此，

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

在 $N$ 之後穩定。 $\Box$

證明 2:

我們使用投影同態到因子模來證明這個結論。

1. $\Rightarrow$ 2.: $N$ 是諾特環，如第一個證明中所示。設

M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots \subseteq M_{k}\subseteq M_{k+1}\subseteq \cdots

是 $M/N$ 的子模序列。如果 $\pi :M\to M/N$ 是投影同態，那麼

N_{k}:=\pi ^{-1}(M_{k})

定義了 $M$ 的一個遞增子模序列，因為 $\pi ^{-1}$ 保持包含關係（因為 $\pi$ 是一個函式）。現在，由於 $M$ 是 Noetherian 模，這個序列會穩定下來。因此，由於 $\pi$ 也保持包含關係，序列

M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots =\pi (\pi ^{-1}(M_{1}))\subseteq \pi (\pi ^{-1}(M_{2}))\subseteq \cdots =\pi (N_{1})\subseteq \pi (N_{2})\subseteq \cdots

也會穩定下來（ $\pi (\pi ^{-1}(M_{k}))=M_{k}$ 因為 $\pi$ 是滿射的）。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令

N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{k}\subseteq N_{k+1}\subseteq \cdots

是 $M$ 的一個遞增子模序列。那麼序列

\pi (N_{1})\subseteq \pi (N_{2})\subseteq \cdots

和

N\cap N_{1}\subseteq N\cap N_{2}\subseteq \cdots

兩者都穩定，因為 $M/N$ 和 $N$ 是 Noetherian 模組。現在 $\pi ^{-1}(\pi (N_{k}))=N_{k}+N$ ，因為 $\pi (m)\in \pi (N_{k})\Leftrightarrow m=n'+n,n'\in N_{k},n\in N$ 。因此，

N_{1}+N\subseteq N_{2}+N\subseteq \cdots \subseteq N_{k}+N\subseteq N_{k+1}+N\subseteq \cdots

穩定。但因為 $N_{k}=N_{k+1}\Leftrightarrow N_{k}\cap N=N_{k+1}\cap N\wedge N_{k}+N=N_{k+1}+N$ ，該定理得證。 $\Box$

證明 3:

我們使用 Noetherian 模組的特徵，即其子模組是有限生成的。

1. $\Rightarrow$ 2.: 令 $K\leq N$ 。那麼 $K\leq M$ ，因此 $K$ 是有限生成的。令 $J\leq M/N$ 。那麼模組 $\pi _{N}^{-1}(J)$ 是有限生成的，其生成元為 $g_{1},\ldots ,g_{n}$ ，假設如此。那麼集合 $\pi _{N}(g_{1}),\ldots ,\pi _{N}(g_{n})$ 生成 $J$ ，因為 $\pi _{N}$ 是滿射且線性的。

2. $\Rightarrow$ 1.: 現在令 $K\leq M$ 。那麼 $J:=K\cap N$ 是有限生成的，因為它也是 $N$ 的子模。此外，

L:=\{k+N|k\in K\}

是有限生成的，因為它是一個子模 $M/N$ 的子模。設 $\{k_{1}+N,\ldots ,k_{n}+N\}$ 為 $L$ 的一個生成集。此外，令 $S$ 為 $J$ 的一個有限生成集，並設 $S':=\{k_{1},\ldots ,k_{n}\}$ 。設 $k\in K$ 為任意元素。則 $k+N\in L$ ，因此 $k+N=\sum _{j=1}^{n}r_{j}k_{j}+N$ （適當的 $r_{j}\in R$ ），因此 $k=\sum _{j=1}^{n}r_{j}k_{j}+n$ ，其中 $n\in N$ ；我們甚至有 $n\in J$ ，因為 $n=k-\sum _{j=1}^{n}r_{j}k_{j}\in K$ ，因此我們可以將其寫成 $S$ 中元素的線性組合。 $\Box$

證明 4:

我們使用 Noetherian 模的特徵來證明，即 Noetherian 模的子模集具有極大元素。

1. $\Rightarrow$ 2.: 如果 $\{K_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 是 $N$ 的子模族，它也是 $M$ 的子模族，因此包含極大元素。

如果 $\{J_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 是 $M/N$ 的子模族，那麼 $\{\pi _{N}^{-1}(J_{\alpha })\}_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的子模族，它有一個最大元素 $\pi _{N}^{-1}(J_{\beta })$ 。由於 $\pi _{N}$ 保持包含關係，並且對於所有 $J\leq M/N$ 有 $\pi _{N}(\pi _{N}^{-1}(J))$ ，因此 $J_{\beta }$ 在 $\{J_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 中是最大的。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令 $\{K_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的一個非空子模族。根據假設，子模族 $\{K_{\alpha }\cap N\}_{\alpha \in B}$ ，其中 $B$ 的定義使得相應的 $K_{\alpha }\cap N,\alpha \in B$ 是子模族 $\{K_{\alpha }\cap N\}_{\alpha \in A}$ 的最大元素，是非空的。因此，子模族 $\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in B}$ ，其中

L_{\alpha }:=\{k+N|k\in K_{\alpha }\}

,

有一個最大元素 $L_{\gamma }$ 。我們聲稱 $K_{\gamma }$ 在 $\{K_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 中是最大的。實際上，設 $K_{\delta }\supseteq K_{\gamma }$ 。那麼 $K_{\delta }\cap N=K_{\gamma }\cap N$ ，因為 $\gamma \in B$ 。因此， $\delta \in B$ 。此外，設 $k\in K_{\gamma }$ 。那麼 $k+N\in L_{\delta }\Rightarrow k+N\in L_{\gamma }$ ，因為 $\delta \in B$ 。因此 $k+n\in K_{\delta }$ 對於合適的 $n\in N$ ，它必須包含在 $K_{\gamma }$ 中，因此也包含在 $K_{\delta }$ 中。