定義（積分依賴）:
設 S {\displaystyle S} 為一個交換環，設 R ⊂ S {\displaystyle R\subset S} 為一個子環，使得 S / R {\displaystyle S/R} 是一個環擴張。一個元素 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 被稱為在 R {\displaystyle R} 上是 **積分** 的，如果存在一個首一多項式，其係數在 R {\displaystyle R} 中，
使得 p ( s ) = 0 {\displaystyle p(s)=0} .
命題（關於 的判別條件）:
{{{2}}}
命題（積分元素的多項式仍是積分的）:
設 S / R {\displaystyle S/R} 是一個環擴張， s 1 , … , s k ∈ S {\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{k}\in S} 在 R {\displaystyle R} 上是積分的， p ( x 1 , … , x n ) ∈ R [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R[x_{1},\ldots ,x_{n}]} 。那麼 p ( s 1 , … , s k ) {\displaystyle p(s_{1},\ldots ,s_{k})} 在 R {\displaystyle R} 上是積分的。
證明：設 S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} 是 S {\displaystyle S} 的一個環擴張，使得 p {\displaystyle p} 在 S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} 中分解為線性因子；這樣的擴張總是存在的。 ◻ {\displaystyle \Box }
是一個環擴張，
在 
上是積分的，![{\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944251cca258a6c1dc8a306ae2629570d5f43557)
。那麼 
在 上是積分的。
是 
的一個環擴張，使得 
在 中分解為線性因子；這樣的擴張總是存在的。
，
