交換代數/交集和素理想鏈或克魯爾理論

定義 17.1:

令 $R$ 為一個環。 $R$ 的 **（克魯爾）維數** 被定義為

$\dim R:=\sup\{n\in \mathbb {N} |\exists p_{0},\ldots ,p_{n}\leq R{\text{ prime }}:p_{0}\subsetneq p_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq p_{n}\}$.

定理 18.1（素理想回避）:

令 $J,I_{1},\ldots ,I_{n}$ 為環 $R$ 中的理想，使得最多兩個理想 $I_{1},\ldots ,I_{n}$ 不是素理想。如果 $J\subseteq \bigcup \limits _{k=1}^{n}I_{k}$，則存在一個 $m\in \mathbb {N}$ 使得 $J\subseteq I_{m}$。

證明 1:

我們直接證明定理。首先考慮情況 $n=2$。令 $a\in J\setminus I_{1}$ 且 $b\in J\setminus I_{2}$。則 $a\in I_{2}$，$b\in I_{1}$ 且 $a+b\in J$。若情況 $a+b\in I_{1}$，我們有 $a\in I_{1}$，若情況 $a+b\in I_{2}$，我們有 $b\in I_{2}$。兩者都是矛盾的。

現在考慮情況 $n>2$。不失一般性，我們可以假設 $I_{1},I_{2}$ 不是素理想，其他所有理想都是素理想。如果 $J\subseteq I_{1}\cup I_{2}$，則結論由我們已經證明的內容可得。否則，存在元素 $b\in J\cap (I_{3}\cup \cdots \cup I_{n}\setminus (I_{1}\cup I_{2}))$。不失一般性，我們可以假設 $b\in J\cap (I_{3}\setminus (I_{1}\cup I_{2}))$。我們斷言 $J\subseteq I_{3}$。首先假設

假設不然。如果存在 $a\in I_{1}$（或 $I_{2}$），則 ${\displaystyle }$.

未完成

證明 2:

我們透過對 $n$ 進行歸納證明。情況 $n=2$ 我們從前面的證明中得到。令 $n>2$。根據歸納假設，我們有 $J$ 不包含在任何 $I_{1}\cup \cdots \cup {\hat {I_{k}}}\cup \cdots \cup I_{n}$ 中，其中帽符號表示不計入並集的第 $k$ 個理想，對於每個 $k\in \{1,\ldots ,n\}$。因此，我們可以為每個 $k\in \{1,\ldots ,n\}$ 選擇 $a_{k}\in J\setminus I_{1}\cup \cdots \cup {\hat {I_{k}}}\cup \cdots \cup I_{n}$。由於 $n>2$，理想 $I_{1},\ldots ,I_{n}$ 中至少有一個是素理想；假設 $I_{m}$ 是這個素理想。考慮 $J$ 中的元素

$b:=a_{m}+a_{1}\cdots a_{m-1}a_{m+1}\cdots a_{n}$.

對於 $j\neq m$，$b$ 不包含在 $I_{j}$ 中，因為否則 $a_{m}$ 將包含在 $I_{j}$ 中。對於 $j=m$，$b$ 也同樣不包含在 $I_{j}$ 中，這次是因為否則 $a_{1}\cdots a_{m-1}a_{m+1}\cdots a_{n}\in I_{j}=I_{m}$，這與 $I_{m}$ 是素理想相矛盾。因此，我們得到了一個與假設相矛盾的結果。$\Box$