交換代數/核、餘核、積、餘積

核

定義 3.1:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一個具有零物件的範疇，並令 $f:a\to b$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中兩個物件 $a,b$ 之間的態射。$f$ 的 **核** 是一個箭頭 $k:o_{k}\to a$，其中 $o_{k}$ 是我們將稱為與核 $k$ 相關的物件，使得

1. $f\circ k=0_{o_{k},b}$，並且
2. 對於 ${\mathcal {C}}$ 中的每個物件 $z$ 和每個態射 $g:z\to a$ 使得 $f\circ g=0_{z,b}$，存在一個唯一的 $g':z\to o_{k}$ 使得 $g=k\circ g'$.

第二個性質在以下交換圖中描述

注意，這裡，我們不只是將核視為子集，而是將核視為一個物件以及一個態射。這是因為例如在群範疇中，我們可以透過包含來獲得態射。讓我解釋一下。

示例 3.2:

在群範疇中，每個態射都有一個核。

證明:

令 $G,H$ 是群，並且 $\varphi :G\to H$ 是一個態射（即群同態）。我們設定

$o_{k}:=\{g\in G:\varphi (g)=0\}$

以及

$k:o_{k}\to G,k(g)=g$,

是包含對映。這確實是群範疇中的一個核。因為如果 $\theta :K\to G$ 是一個群同態，使得 $\varphi \circ \theta =0$，則 $\theta$ 對映到 $o_{k}$，我們可以簡單地寫成 $\theta =k\circ \theta$。這顯然也是唯一的分解。$\Box$

對於核，以下定理成立：

定理 3.3:

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個具有零物件的範疇，設 $f:a\to b$ 是一個態射，設 $k:o_{k}\to a$ 是 $f$ 的一個核。則 $k$ 是單射的（即單態射）。

證明:

設 $k\circ s=k\circ t$。情況如下圖所示：

這裡，三個下方的箭頭描述了核的一般性質。現在，態射 $k\circ s$ 和 $k\circ t$ 都是關於 $k$ 的態射 $k\circ s$ 的分解。根據分解的唯一性， $s=t$。$\Box$

核本質上是唯一的。

定理 3.4:

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個具有零物件的範疇，設 $f:a\to b$ 是一個態射，並且設 $k:o_{k}\to a$，${\tilde {k}}:o_{\tilde {k}}\to a$ 是 $f$ 的兩個核。那麼

$o_{k}\cong o_{\tilde {k}}$;

也就是說，$k$ 和 ${\tilde {k}}$ 是同構的。

證明:

從核的第一個性質，我們得到 $f\circ k=0$ 和 $f\circ {\tilde {k}}=0$。因此，核的第二個性質意味著交換圖

和 .

我們斷言 $k'$ 和 ${\tilde {k}}'$ 互為逆。

${\tilde {k}}k'{\tilde {k}}'=k{\tilde {k}}'={\tilde {k}}={\tilde {k}}1_{o_{\tilde {k}}}$ 和 $k{\tilde {k}}'k'={\tilde {k}}k'=k=k1_{o_{k}}$.

由於根據定理 3.3，$k$ 和 ${\tilde {k}}$ 都是單項式，我們可以將它們約掉得到

$k'{\tilde {k}}'=1_{o_{\tilde {k}}}$ 和 ${\tilde {k}}'k'=1_{o_{k}}$,

也就是說，我們得到了逆箭頭，因此，根據定義，它們是同構。$\Box$

餘核

一個類似的概念是餘核。這個概念在數學中很常見，但在本科階段不那麼常見。

定義 3.5:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一個帶有零物件的範疇，令 $f:a\to b$ 是兩個物件 $a,b$ 之間的態射，其中 $a,b$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的物件。$f$ 的餘核 是一個箭頭 $u:b\to o_{u}$，其中 $o_{u}$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的一個物件，我們可以將其稱為與餘核 $u$ 相關的物件，使得

1. $u\circ f=0_{a,o_{u}}$，並且
2. 對於每個物件 $c$ 的 ${\mathcal {C}}$ 和每個態射 $h:b\to c$ 使得 $h\circ f=0_{a,c}$，存在唯一的因式分解 $h=h'\circ u$ 對於適當的態射 $h'$.

第二個性質在下面的圖片中描述

同樣，這個概念只是對“日常”範疇中觀察到的事實的概括。我們第一個關於上核的存在的例子將是阿貝爾群中上核的存在。現在實際上，上核甚至存在於群的範疇中，但構造有點棘手，因為一般來說，像可能不是一個正規子群，這就是為什麼我們可能無法透過像形成商群的原因。然而，在阿貝爾群中，所有子群都是正規的，因此這是可能的。

例 3.6:

在阿貝爾群的範疇中，每個態射都有一個上核。

證明:

令 $G,H$ 是任意兩個阿貝爾群，令 $\varphi :G\to H$ 是一個群同態。我們設定

$o_{u}:=H/\operatorname {im} \varphi$;

我們可以形成這個商群，因為在阿貝爾群中，所有子群都是正規的。此外，我們設定

$u:H\to H/\operatorname {im} \varphi ,u(h)=h+\operatorname {im} \varphi$,

投影（我們遵循用加法形式寫阿貝爾群的習慣）。現在令 $\eta :H\to I$ 是一個群同態，使得 $\eta \circ \varphi =0$，其中 $I$ 是另一個阿貝爾群。則函式

$\eta ':H/\operatorname {im} \varphi \to I,\eta '(h+\operatorname {im} \varphi ):=\eta (h)$

是良定義的（因為群態射的規則）並且 $h$ 的期望唯一因式分解由 $h=\eta '\circ u$ 給出。$\Box$

定理 3.7:

每個上核都是一個滿射。

證明:

設 $f$ 是一個態射，$u$ 是一個相應的餘核。假設 $t\circ u=s\circ u$。下圖描述了這種情況

現在，$t\circ u\circ f=0$，並且 $t\circ u$ 和 $s\circ u$ 由於它們是相等的，因此都是 $t\circ u$ 的因式分解。因此，根據餘核定義中要求的這種因式分解的唯一性，$s=t$。$\Box$

定理 3.8:

如果態射 $f$ 具有兩個餘核 $u$ 和 ${\tilde {u}}$（我們稱相關的物件為 $o_{u}$ 和 $o_{\tilde {u}}$），那麼 $u\cong {\tilde {u}}$；也就是說，$u$ 和 ${\tilde {u}}$ 是同構的。

證明:

我們再次得到 $u\circ f=0$ 和 ${\tilde {u}}\circ f=0$，因此我們得到了交換圖

和 .

我們再次斷言 $u'$ 和 ${\tilde {u}}'$ 互為逆對映。事實上，我們得到了如下等式

$u'{\tilde {u}}'u=u'{\tilde {u}}=u=1_{o_{u}}u$ 和 ${\tilde {u}}'u'{\tilde {u}}={\tilde {u}}'u={\tilde {u}}=1_{o_{u'}}{\tilde {u}}$

並且根據消去律（由於定理 8.7，$u$ 和 ${\tilde {u}}$ 都是滿射），我們得到

$u'{\tilde {u}}'=1_{o_{u}}$ 和 ${\tilde {u}}'u'=1_{o_{u'}}$

因此定理得證。$\Box$

核與餘核之間的相互作用

定理 3.9:

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個具有零物件的範疇，並設 $k$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的某個態射，使得 $k$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中某個任意態射 $f$ 的核。那麼 $k$ 也是其自身任何餘核的核。

證明:

$k=\ker f$ 意味著

.

我們令 $q:=\operatorname {coker} k$，即

.

特別地，由於 $fk=0$，存在唯一的 $f'$ 使得 $f=f'q$。我們現在需要 $k$ 是 $p$ 的核，即

.

因此假設 $ql=0$。那麼 $fl=f'ql=0$。因此，根據最上面的圖（在這個證明中），$l=kl'$ 對於唯一的 $l'$，這正是我們想要的。此外，$qk=0$ 來自這個證明中的第二個圖。 $\Box$

定理 3.10:

令 ${\mathcal {C}}$ 為一個帶有零物件的範疇，並令 $q$ 為 ${\mathcal {C}}$ 中的態射，使得 $q$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中某個任意態射 $r$ 的核。那麼 $q$ 也是它本身的任何核的餘核。

證明:

陳述$q$是$r$的餘核。

.

我們設定$k:=\ker q$，也就是說

.

特別地，由於$qr=0$，$r=kr'$，對於一個合適且唯一的態射$r'$。我們現在希望$q$成為$k$的餘核，也就是說，

.

令$mk=0$。那麼也存在$mr=mkr'=0$，因此$m$有唯一的分解$m=m'q$，根據最上面的圖。 $\Box$

推論 3.11:

令${\mathcal {C}}$為一個具有零物件的範疇，其中所有態射都有核和餘核，且令$f$為${\mathcal {C}}$的任意態射。那麼

$\ker f=\ker(\operatorname {coker} (\ker f))$

以及

$\operatorname {coker} f=\operatorname {coker} (\ker(\operatorname {coker} f))$.

等式

$\ker f=\ker(\operatorname {coker} (\ker f))$

應理解為“$f$的核是其任何餘核的核”，另一個等式也是如此，只是將核替換為餘核，反之亦然。

證明:

$k:=\ker f$是一個作為某種核的態射。因此，根據定理 3.9

$k=\ker(\operatorname {coker} (k))$

(其中方程式應讀作 "$k$ 是任何 $k$ 的餘核的核）。類似地，從定理 3.10

$q=\operatorname {coker} (\ker(q))$,

其中 $q:=\operatorname {coker} f$.$\Box$

乘積

定義 3.12:

令 ${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，並令 $a,b$ 為 ${\mathcal {C}}$ 的兩個物件。 $a$ 和 $b$ 的 **乘積**，記為 $a\times b$，是 ${\mathcal {C}}$ 的一個物件，以及兩個態射

$\pi _{a}:a\times b\to a$ 和 $\pi _{b}:a\times b\to b$，

稱為 $a\times b$ 的 **投影**，使得對於任何態射 $f:c\to a$ 和 $g:d\to b$，存在唯一的態射 ${\displaystyle }$ 使得以下圖表可交換

[[]]

示例 3.13:

定理 3.14:

如果 ${\mathcal {C}}$ 是一個範疇，$a,b$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的物件，$p,q$ 是 $a$ 和 $b$ 的積，那麼

$p\cong q$,

也就是說，$p$ 和 $q$ 是同構的。

定理 3.15:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一個範疇，$a,b$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的物件，$a\times b$ 是 $a$ 和 $b$ 的積。那麼投影態射 ${\displaystyle }$ 和 ${\displaystyle }$ 是單態射。

餘積

定義 3.16:

令 ${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，並令 $a$ 和 $b$ 為 ${\mathcal {C}}$ 的物件。那麼 $a$ 和 $b$ 的 **直和** 是 ${\mathcal {C}}$ 的另一個物件，記為 $a\coprod b$，以及兩個態射 ${\displaystyle }$ 和 ${\displaystyle }$，使得對於任何態射 ${\displaystyle }$ 和 ${\displaystyle }$，存在態射，使得 ${\displaystyle }$ 和 ${\displaystyle }$.

例 3.17:

定理 3.18:

定理 3.19:

雙積

定義 3.20:

令 ${\mathcal {C}}$ 為包含兩個物件 $a$ 和 $b$ 的範疇。假設我們給定一個物件 $c$ ${\mathcal {C}}$，以及四個態射，使其成為積，同時也是一個並積。那麼我們稱 $c$ 為兩個物件 $a$ 和 $b$ 的 **雙積**，並將其表示為

$c=a\oplus b$.

示例 3.21:

在阿貝爾群的範疇中，雙積由積群給出；如果 $G,H$ 是阿貝爾群，將 $G$ 和 $H$ 的積群設為

$G\times H$,

笛卡爾積，具有逐分量群運算。

證明: