交換代數/諾特正規化引理

計算準備

引理 23.1:

令 $R$ 為環，令 $f\in R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 為多項式。令 $N\in \mathbb {N}$ 為一個嚴格大於 $f$ 的任何單項式次數的數（其中任意單項式 $x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}$ 的次數定義為 $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$）。那麼多項式的最大單項式（關於次數）

$g(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f(x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}},x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}},\ldots ,x_{n-2}+x_{n}^{N^{2}},x_{n-1}+x_{n}^{N},x_{n})$

具有 $x_{n}^{m}$ 的形式，其中 $m\in \mathbb {N}$ 適當。

證明:

令 $x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}$ 為 $f$ 的任意單項式。 將 $x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}}$ 代入 $x_{1}$， $x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}}$ 代入 $x_{2}$，得到

$(x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}})^{k_{1}}(x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}})^{k_{2}}\cdots (x_{n-1}+x_{n}^{N})^{k_{n-1}}x_{n}^{k_{n}}$.

這是一個多項式，並且根據定義，$g$ 由某些係數乘以該形式的多項式組成。

我們想要找到 $g$ 的最大系數。為此，我們首先確定

$(x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}})^{k_{1}}(x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}})^{k_{2}}\cdots (x_{n-1}+x_{n}^{N})^{k_{n-1}}x_{n}^{k_{n}}$

透過展開，發現始終選擇 $x_{n}^{N^{j}}$ 會產生比選擇其他變數 $x_{j}$ 更大的單項式。 因此，該多項式的最大單項式是

$(x_{n}^{N^{n-1}})^{k_{1}}(x_{n}^{N^{n-2}})^{k_{2}}\cdots (x_{n}^{N})^{k_{n-1}}x_{n}^{k_{n}}=x_{n}^{k_{1}N^{n-1}+k_{2}N^{n-2}+\cdots +k_{n-1}N+k_{n}}$.

現在 $N$ 大於所有 $k_{j}$，因為 $N$ 甚至大於 $f$ 的任何單項式的次數。因此，對於來自 $f$ 的單項式的 $(k_{1},\ldots ,k_{n})$，數字

$k_{1}N^{n-1}+k_{2}N^{n-2}+\cdots +k_{n-1}N+k_{n}$

表示 $N$ 進位制數。特別地，對於不同的 $(k_{1},\ldots ,k_{n})$，它們之間沒有兩個相等，因為 $N$ 進位制數必須有相同的 $N$ 位數才能相等。因此，其中有一個最大的，記為 $m_{1}N^{n-1}+m_{2}N^{n-2}+\cdots +m_{n-1}N+m_{n}$。最大的單項式是

$(x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}})^{m_{1}}(x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}})^{m_{2}}\cdots (x_{n-1}+x_{n}^{N})^{m_{n-1}}x_{n}^{m_{n}}$

那麼

$x_{n}^{m_{1}N^{n-1}+m_{2}N^{n-2}+\cdots +m_{n-1}N+m_{n}}$;

它的度數一定大於來自單項式$f$的所有單項式的度數，其中單項式的次數為$(m_{1},\ldots ,m_{n})$，並且根據我們的選擇，它也大於由$f$的任何其他單項式生成的任何多項式中最大的單項式的度數。因此，它是$g$中最大的單項式（按度數衡量），並且它具有所需的格式。$\Box$

代數上的代數無關

在域理論中眾所周知的概念擴充套件到代數。

定理 23.2:

設$R$是一個環，$A$是一個$R$-代數。元素$a_{1},\ldots ,a_{n}$在$A$中被稱為關於$R$代數無關，當且僅當不存在多項式$p\in R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 使得$p(a_{1},\ldots ,a_{n})=0$（其中多項式按照第 21 章的解釋進行計算）。

該定理

定理 23.3（諾特正規化引理）:

設 $D$ 為一個整環，設 $E\supseteq D$ 為 $D$ 的一個有限生成環擴張；特別是，$E$ 是一個 $D$-代數，其中代數運算由環運算誘導。然後我們可以選取一個 $d\in D$ 使得存在 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in E_{d}$ ($E_{d}$ 表示 $E_{d}$ 在 $d$ 處的區域性化)，它們在 $E_{d}$ 上作為 $D_{d}$-代數是代數無關的。