交換代數/諾特環

環作為模

定理 14.1:

我們已經觀察到一個環$R$ 是它本身上的一個模，其中模運算由乘法給出，加法由環加法給出。在這種情況下，我們進一步發現$R$ 的子模恰好是理想。

證明：成為子模意味著成為一個關於模運算封閉的加法子群。在上述情況下，這正是理想的定義。$\Box$

性質的轉移

定義 14.2:

設$R$ 為一個（交換）環。$R$ 被稱為諾特環當且僅當$R$ 的每個理想的上升鏈

$I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq \cdots \subseteq I_{k}\subseteq \cdots$

最終變為穩定。

從定理 6.7 和 14.1 中，我們得到了以下諾特環的特徵

定理 14.3:

以下等價

1. $R$ 是諾特環。
2. $R$ 的每個理想都是有限生成的。
3. $R$ 的每個理想集關於包含都有一個最大元素。

類似於定理 6.11，我們進一步得到

定理 14.4:

如果$R$ 是諾特環，$S$ 是另一個環，$\phi :R\to S$ 是一個滿射環同態，則$S$ 是諾特環。

證明 1：類比於定理 6.11，使用環的同構定理。$\Box$

證明 2：直接使用定理 6.11。$\Box$

環設定中的新屬性

當考慮環時，在諾特情況下，幾個新屬性表現出來。

{{TextBox| M=0 | W=100% | BG=#FFFFFF |1=定理 14.4

諾特環和構造

在本節中，我們將證明涉及諾特環以及它們上的模或類似區域性化的結構的定理。

定理 14.4:

設 $R$ 是諾特環，設 $M$ 是一個有限生成的 $R$-模。那麼 $M$ 是諾特模。

定理 14.5（希爾伯特基定理）:

設 $R$ 是一個諾特環。那麼在 $R$ 上的多項式環 $R[x]$ 也是諾特環。

證明 1:

考慮任何理想 $I\leq R[x]$。我們構造一個理想 $J\leq R$，它包含 $I$ 中所有多項式的首項係數；也就是說

$a\in J:\Leftrightarrow \exists f\in I:f(x)=ax^{m}+{\text{(lower terms)}}$.

由於 $R$ 是諾特環，$J$ 具有有限個生成元；將這些生成元稱為 $j_{1},\ldots ,j_{n}$。所有 $j_{k}$ 屬於某個 $f_{j}\in R[x]$ 作為首項係數；因此，令 $d_{k}$ 表示所有 $1\leq k\leq n$ 的該多項式的次數。設定

$d:=\max _{1\leq k\leq n}d_{k}$.

我們進一步形成理想$K:=\langle f_{1},\ldots ,f_{n}\rangle$ 和 $L:=\langle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1}\rangle \cap I$ 的 $R[x]$ 並聲稱

$I=K+L$.

實際上，顯然 $K,L\subseteq I$ 因此 $K+L\subseteq I$ （參見模組部分）。另一個方向可以這樣理解：如果 $g(x)\in I$，$\deg g=m$，那麼我們可以設 $a\in R$ 為 $f$ 的首項係數，寫成 $a=r_{1}j_{1}+\cdots +r_{n}j_{n}$，其中 $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ 然後減去 $h(x):=(r_{1}j_{1}f_{1}x^{m-d_{1}}+\cdots +r_{n}j_{n}f_{n}x^{m-d_{n}})$，得到

$\deg(g-h)<m$

只要 $m\geq d$。透過重複此過程，我們從 $g$ 中減去一個多項式 $h'$，得到一個在 $L$ 中的多項式，也就是說，$g\in K+L$.

然而，$K$ 和 $L$ 都是有限生成的理想（$\langle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1}\rangle$ 作為 $R$-模是有限生成的，因此根據前一個定理，$L$ 也是 Noetherian 的，因為它是 Noetherian 模的子模)。由於有限生成理想的和顯然是有限生成的，因此 $I$ 是有限生成的。$\Box$

練習

• 令 $R$ 為 Noetherian 環，令 $M$ 為 $R$-模。證明 $M$ 是 Noetherian 的當且僅當它是有限生成的。（提示：是否有任何滿射環同態 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]\to M$，其中 $n$ 是 $M$ 的生成元個數？如果是，第一個同構定理對此有什麼說明？)