交換代數/物件和態射

基礎

定義 1.1（範疇）:

一個範疇 ${\mathcal {C}}$ 是一個物件集合以及態射，它們從一個物件 $a\in {\mathcal {C}}$ 到另一個物件 $b\in {\mathcal {C}}$（其中 $a$ 被稱為定義域，$b$ 被稱為陪域），使得

1. 任何態射 $f:a\to b$ 可以與一個態射 $g:b\to c$ 複合，使得這兩個態射的複合是一個態射 $g\circ f:a\to c$。
2. 對於每個 $a\in {\mathcal {C}}$，存在一個態射 $1_{a}:a\to a$，使得對於任何態射 $f:a\to b$ 我們有 $f\circ 1_{a}=f$，並且對於任何態射 $g:b\to a$ 我們有 $1_{a}\circ g=g$。

例子 1.2:

1. 所有群的集合以及群同態作為態射構成一個範疇。
2. 所有環的集合以及環同態構成一個範疇。
3. 集合以及普通函式構成集合範疇。

對於每個範疇，我們可以關聯一個對偶範疇

定義 1.3（對偶範疇）:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一個範疇。${\mathcal {C}}$ 的對偶範疇是由 ${\mathcal {C}}$ 的物件組成，但所有態射都被認為是反轉的，這可以透過簡單地將陪域定義為前一個態射的定義域，將定義域定義為前一個態射的陪域來完成。

例如，在集合的相反類別中，函式 $f:S\to T$（其中 $S$，$T$ 是集合）是同態 $T\to S$。

範疇論中的代數物件

範疇是一個如此一般的物件，以至於一些重要的代數結構作為特殊情況出現。例如，考慮一個只有一個物件的範疇。那麼這個範疇就是一個么半群，其運算為合成。另一方面，如果給定一個任意的么半群，我們可以定義該么半群的元素為從單個物件到自身的態射，從而找到該么半群作為只有一個物件的範疇的表示。

如果給定一個只有一個物件的範疇，並且所有態射恰好都是可逆的，那麼實際上我們有一個群結構。並且進一步，正如對么半群所描述的那樣，我們可以將每個群轉換為一個範疇。

特殊型別的態射

範疇中的以下概念可能是受集合範疇以及類似範疇中發生的事情的啟發。

在集合範疇中，我們有滿射函式和單射函式。我們可以如下表徵它們

定理 1.4:

設 $X,Y$ 為集合，$f:X\to Y$ 為函式。那麼

• $f$ 是滿射當且僅當對所有集合 $Z$ 和函式 $g,h:Y\to Z$ $g\circ f=h\circ f$ 蘊含 $g=h$。
• $f$ 是單射當且僅當對所有集合 $W$ 和函式 $g,h:W\to X$ $f\circ g=f\circ h$ 蘊含 $g=h$。

證明:

我們從滿射的表徵開始。

$\Rightarrow$: 令 $f$ 是滿射，並令 $g\circ f=h\circ f$。令 $y\in Y$ 是任意的。由於 $f$ 是滿射，我們可以選擇 $x\in X$ 使得 $f(x)=y$。然後我們有 $g(y)=g(f(x))=h(f(x))=h(y)$。由於 $y\in Y$ 是任意的，$g=h$。

$\Leftarrow$: 假設對於所有集合 $Z$ 和函式 $g,h:Y\to Z$，$g\circ f=h\circ f$ 蘊含著 $g=h$。假設與之矛盾的是 $f$ 不是滿射。那麼，存在一個 $y_{0}\in Y$ 在 $f$ 的像之外。令 $Z=\{1,2\}$。我們定義 $g,h:Y\to Z$ 如下

$g(y)=1\forall y\in Y$, $h(y)={\begin{cases}1&y\neq y_{0}\\2&y=y_{0}\end{cases}}$.

那麼 $g\circ f=h\circ f=1$ （因為 $y_{0}$ 是第二個函式可能為 $2$ 的唯一地方，但它永遠不會被 $f$ 命中），但 $g\neq h$.

現在我們證明單射性的特徵。

$\Rightarrow$: 令 $f$ 為單射函式，令 $W$ 為另一個集合，令 $g,h:W\to X$ 為兩個函式，使得 $f\circ g=f\circ h$。假設對於某個 $w\in W$，$g(w)\neq h(w)$。那麼由於 $f$ 的單射性，$f(g(w))\neq f(h(w))$，矛盾。

$\Leftarrow$: 假設對於所有集合 $W$ 和函式 $g,h:W\to X$，$f\circ g=f\circ h$ 意味著 $g=h$。令 $x,y\in X$ 為任意元素，使得 $f(x)=f(y)$。取 $W=\{1\}$ 和 $g(1)=x,h(1)=y$。那麼 $x=y$，因此滿射。$\Box$

有趣的是，從單射到滿射的轉變，將間接證明的使用從 $\Leftarrow$ 方向轉移到了 $\Rightarrow$ 方向。

由於在由上一個定理給出的單射和滿射的特徵中，不再提及任何集合的元素，我們可以將這些概念推廣到範疇論。

定義 1.5:

令 ${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，令 $f$ 為 ${\mathcal {C}}$ 的一個態射。我們說

• $f:X\to Y$ 是一個滿同態當且僅當對所有 $Z$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的任何物件，以及對所有態射 $g,h:Y\to Z$，$g\circ f=h\circ f\Rightarrow g=h$，並且
• $f:X\to Y$ 是一個單同態當且僅當對所有 $W$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的任何物件，以及對所有態射 $g,h:W\to X$，$f\circ g=f\circ h\Rightarrow g=h$.

練習

• 練習 1.3.1: 構造一個範疇 ${\mathcal {C}}$，其中物件是有限個集合，並且存在一個非滿射的滿同態，以及一個非單射的單同態 (提示: 包含少量態射).

終物件、始物件、零物件和零態射

在許多範疇中，例如群、環、模... (但不是域)，存在一些“平凡”物件，它們是最簡單的物件; 例如，在群範疇中，存在平凡群，它只包含單位元。實際上，在群範疇中，平凡群具有以下性質

定理 1.6:

令 $|G|=1$ 並且令 $H$ 為另一個群。那麼存在恰好一個同態 $f:H\to G$ 和恰好一個同態 $g:G\to H$.

此外，如果 ${\tilde {G}}$ 是任何其他具有以下性質的群：對於任何其他群 $H$，都存在唯一一個同態 ${\tilde {G}}\to H$ 以及唯一一個同態 $H\to {\tilde {G}}$，則 $|{\tilde {G}}|=1$.

證明：我們從第一部分開始。令 $f:H\to G$ 是一個同態，其中 $|G|=1$。那麼 $f$ 必須處處取 $G$ 中唯一元素的值，因此唯一確定。如果此外 $g:G\to H$ 是一個同態，根據同態性質，我們必須有 $g(\iota )=1_{H}$（否則透過取 $\iota$ 的冪獲得矛盾）。

現在假設 $|{\tilde {G}}|>1$，並令 $\tau$ 是 ${\tilde {G}}$ 中不等於單位元的元素。令 $n:={\text{ord}}\tau$。我們定義一個同態 $f:Z_{n}\to {\tilde {G}}$ 由 $f(k):=\tau ^{k}$ 定義。除了那個同態，我們還有平凡同態 $Z_{n}\to {\tilde {G}}$。因此，我們沒有唯一性。$\Box$

利用定理 1.6 給出的特徵，我們可以將這個概念推廣到範疇論語言。

定義 1.7:

設 ${\mathcal {C}}$ 為一個範疇。${\mathcal {C}}$ 的零物件是指一個物件 $Z$，使得對於 ${\mathcal {C}}$ 中的所有其他物件 $X,Y$，都存在唯一的態射 $f:X\to Z$ 和 $g:Z\to Y$。

在許多常見的範疇中，例如群（如上所示），還有環和模，都存在零物件。然而，集合範疇中並不存在。事實上，設 $S$ 為任意集合。如果 $|S|\geq 2$，那麼從任何非空集合到 $S$ 的態射至少存在兩個，即兩個常函式。如果 $|S|=1$，我們可以選擇一個集合 $T$，使得 $|t|>2$，並獲得兩個從 $S$ 對映到 $T$ 的態射。如果 $S=\emptyset$，那麼就不存在函式 $T\to S$。

但是，如果我們把定義 1.6 分成兩半，那麼每一半都可以在集合範疇中找到。

定義 1.8:

令 ${\mathcal {C}}$ 為一個範疇。一個物件 $X$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中被稱為

• 終物件，當且僅當對於 ${\mathcal {C}}$ 中的任何其他物件 $Y$，存在恰好一個態射 $Y\to X$；
• 初物件，當且僅當對於 ${\mathcal {C}}$ 中的任何其他物件 $Y$，存在恰好一個態射 $X\to Y$。

在集合範疇中，存在一個初物件和數百萬（確切地說，是無限多個）終物件。初物件是空集；上面定義 1.7 中的論證表明這是唯一剩下的選擇，它是一個有效的選擇，因為從空集到任何其他集合的態射都是空函式。此外，每個恰好包含一個元素的集合都是一個終物件，因為對映到該集合的每個態射都是以該集合的單個元素為值的常數函式。因此，透過將零物件的概念向兩個不同的方向進行推廣，我們獲得了對集合級別對稱破缺的細緻描述。

現在回到群的範疇，在任意兩個群之間也存在一個特別平凡的同態，即零同態。我們也將提升這個概念到範疇的級別。以下定理是直接的

定理 1.9:

令 $T$ 為平凡群，令 $H$ 和 $G$ 為任意兩個群。如果 $f:H\to T$ 和 $g:T\to G$ 是同態，則 $g\circ f$ 是平凡同態。

現在我們可以繼續對零態射的範疇定義。它只針對具有零物件的範疇定義。（存在更一般的定義，但在本書中我們不會使用它。）

定義 1.10:

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個具有零物件的範疇 $Z$，並且設 $X,Y$ 是該範疇中的物件。那麼，從 $X$ 到 $Y$ 的**零態射**定義為兩個唯一態射 $X\to Z$ 和 $Z\to Y$ 的複合。