交換代數/初等分解或拉斯克-諾特理論

以下理論最初由世界象棋冠軍埃曼努埃爾·拉斯克在他的1905年論文“Zur theorie der Moduln und Ideale”（“論模與理想的理論”）中關於多項式環提出的，後來被埃米·諾特在其具有革命意義的1921年論文“Idealtheorie in Ringbereichen”中推廣到滿足升鏈條件（諾特環）的交換環。

初等理想

定義 19.4:

一個理想$q\leq R$被稱為初等理想當且僅當以下成立

$xy\in q\Rightarrow x\in q\vee \exists n\in \mathbb {N} :y^{n}\in q$.

顯然，每個素理想都是初等的。

我們有以下特徵

定理 19.5（初等理想的特徵）:

令$q\leq R$，其中$r(q)$表示$q$的根理想。以下是等價的

1. $q$是初等的。
2. 如果$xy\in q$，那麼要麼$x\in q$或$y\in q$或$x\in r(q)\wedge y\in r(q)$.
3. $R/q$的每個零因子都是冪零的。

證明 1:

1. $\Rightarrow$ 2.: 令 $q$ 為素數。假設 $xy\in q$，並且 $x\in q$ 和 $y\in q$ 都不成立。由於 $x\notin q$，$y^{k}\in q$ 對於合適的 $k\geq 2$ 成立。由於 $yx\in q$ 且 $y\notin q$，$x^{m}\in q$ 對於合適的 $m\geq 2$ 成立。

2. $\Rightarrow$ 3.: 令 $d+q$ 為 $R/q$ 的零因子，即，$cd\in q$ 對於某個 $c\in R$ 成立，使得 $c\notin q$。因此 $d\in r(q)$，即 $d^{k}\in q$ 對於合適的 $k$ 成立。

3. $\Rightarrow$ 1.: 令 $xy\in q$。那麼要麼 $x\in q$，要麼 $y\in q$，要麼 $x+q$ 是 $R/q$ 中的零因子，這就是 $x^{k}+q=0$ 對於適當的 $k$ 的原因。$\Box$

證明 2:

1. $\Rightarrow$ 3.: 令 $q$ 為素理想，並令 $x+q$ 為 $R/q$ 中的零因子。那麼 $xy\in q$ 對於某個 $y\notin q$，因此 $x^{k}\in q$ 對於適當的 $k$。

3. $\Rightarrow$ 2.: 令 $xy\in q$。 假設 $x\in q$ 和 $y\in q$ 都不成立。 那麼， $x+q$ 和 $y+q$ 都是 $R/q$ 中的零因子，因此是冪零元，這就是為什麼 $x^{k},y^{m}\in q$ 對於適當的 $k,m$ 成立，因此 $x,y\in r(q)$。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令 $xy\in q$。 假設 $x\in q$ 和 $y\in q$ 都不成立。 那麼，特別地， $y\in r(q)$，也就是說， $y^{k}\in q$ 對於適當的 $k$。 $\Box$

定理 19.6:

如果 $q\leq R$ 是任何素理想，那麼 $r(q)$ 是素理想。

證明:

令 $xy\in r(q)$。 那麼對於合適的 $n\in \mathbb {N}$，有 $(xy)^{n}\in q$。因此，要麼 $x^{n}\in q$ 且因此 $x\in r(q)$，要麼對於合適的 $m\in \mathbb {N}$ 有 $(y^{n})^{m}\in q$，因此 $y\in r(q)$。$\Box$

存在性

在諾特環中的存在性

根據扎里斯基、塞繆爾和科恩的闡述，我們從兩個引理和一個定義推匯出經典的諾特環存在性定理。

定義 19.7:

理想 $I\leq R$ 稱為不可約 當且僅當它不能寫成有限多個真超理想的交集。

引理 19.8:

在諾特環中，每個不可約理想都是初等的。

證明:

假設存在一個不可約理想 $I$ 不是初等的。由於 $I$ 不是初等的，存在 $x,y\in R$ 使得 $xy\in I$，但既沒有 $x\in I$ 也沒有 $y^{n}\in I$ 對於任何 $n\in \mathbb {N}$。我們形成一個升鏈的理想

$(I:y)\subseteq (I:y^{2})\subseteq (I:y^{3})\subseteq \cdots$;

這個鏈是上升的，因為$ry^{n}\in I\Rightarrow ry^{n+1}\in I$. 由於我們是在一個諾特環中，這個鏈最終會在某個$m\in \mathbb {N}$處穩定下來；也就是說，對於$k\geq m$，我們有$(I:y^{k})=(I:y^{k+1})$。我們現在斷言

$I=(I+\langle x\rangle )\cap (I+y^{n}R)$.

事實上，$\subseteq$ 是顯然的，對於$\supseteq$ 我們注意到，如果$r\in (I+\langle x\rangle )\cap (I+y^{n}R)$，那麼

$r=i+sx=j+y^{n}t$

對於合適的$i,j\in I$ 和$s,t\in R$，這就是為什麼$sx-y^{n}t\in I$，因此$sxy-y^{n+1}t\in I$，因為$xy\in I$，因此$y^{n+1}t\in I$，$t\in (I:y^{n+1})=(I:y^{n})$，因此$y^{n}t\in I$ 和$sx\in I$。因此$r\in I$。

此外，透過選擇 $x$ 和 $y$，兩者 $I+\langle x\rangle$ 和 $I+y^{n}R$ 都是真超理想，這與 $I$ 的不可約性相矛盾。$\Box$

引理 19.9:

在諾特環中，每個理想都可以寫成有限個不可約理想的交集。

證明:

假設並非如此。考慮所有不能寫成有限個不可約理想交集的理想的集合。如果我們給定該集合內的升鏈

$I_{1}\subsetneq I_{2}\subsetneq \cdots$,

這個鏈具有上界，因為它是穩定，因為我們是在諾特環中。因此，我們可以選擇一個極大元素 $I$ 在所有不能寫成有限個不可約理想交集的理想中。 $I$ 本身因此不可約。因此，它可以寫成嚴格超理想的交集；也就是說

$I=J_{1}\cap \cdots \cap J_{n}$

對於適當的 $J_{i}\supsetneq I$。由於 $I$ 是極大的，每個 $J_{i}$ 是有限個不可約理想的交集，因此 $I$ 也是，這與我們對 $I$ 的選擇相矛盾。$\Box$

推論 19.10:

在諾特環中，每個理想都可以寫成有限個初等理想的交集。

證明:

結合引理 19.8 和 19.9。$\Box$

最小分解

定義 19.11:

令 $I\leq R$ 是環中的理想，並且令

$I=\bigcap _{s=1}^{r}q_{s}$

是 $I$ 的初等分解。當且僅當

1. 不存在$t\in \{1,\ldots ,r\}$ 使得$q_{t}\supseteq \bigcap _{s=1 \atop s\neq t}^{r}q_{s}$，並且
2. 對於所有$i\neq j$，$r(q_{i})\neq r(q_{j})$（也就是說，素理想的根是成對不同的）。

事實上，一旦我們得到一個給定理想的初等分解，我們就能找到該理想的最小初等分解。但在我們證明這一點之前，我們需要先了解關於根的一個一般事實。

引理 19.12:

令$I_{1},\ldots ,I_{n}$ 是理想。那麼

$r\left(\bigcap _{j=1}^{n}I_{j}\right)=\bigcap _{j=1}^{n}r(I_{j})$.

這個引理可以表述為“根與有限交集可以互換”。

證明:

$\Rightarrow$:

${\begin{aligned}s\in r\left(\bigcap _{j=1}^{n}I_{j}\right)&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :s^{k}\in \bigcap _{j=1}^{n}I_{j}\\&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :\forall j\in \{1,\ldots ,n\}:s^{k}\in I_{j}\\&\Rightarrow \forall j\in \{1,\ldots ,n\}:\exists k\in \mathbb {N} :s^{k}\in I_{j}\\&\Leftrightarrow s\in \bigcap _{j=1}^{n}r(I_{j}).\end{aligned}}$

$\Leftarrow$：令$s\in \bigcap _{j=1}^{n}r(I_{j})$。對於每個$j$，選擇$k_{j}$ 使得$s^{k_{j}}\in I_{j}$。令

$k:=\max\{k_{1},\ldots ,k_{n}\}$.

那麼 $s^{k}\in \bigcap _{j=1}^{n}I_{j}$，因此 $s\in r\left(\bigcap _{j=1}^{n}I_{j}\right)$。$\Box$

請注意，對於無限交集，引理不一定（！！！）成立。

定理 19.13:

令 $I\leq R$ 為具有初等分解的環中的理想。 那麼 $I$ 也具有極小的初等分解。

證明 1:

首先，我們可以排除所有對於

$q_{t}\supseteq \bigcap _{s=1 \atop s\neq t}^{r}q_{s}$;

的初等理想 $q_{t}$，因為一般來說，與超集的交集不會改變。

然後假設我們得到一個分解

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$,

並對於一個固定的素理想 $p$ 設定

$q_{p}:=\bigcap _{r(q_{j})=p}q_{j}$;

根據定理 19.6，

$I=\bigcap _{p\leq R{\text{ prime}}}q_{p}$.

我們斷言 $q_{p}$ 是初等的，並且 $r(q_{p})=p$。對於第一個斷言，請注意，根據先前的引理，

$r\left(\bigcap _{r(q_{j})=p}q_{j}\right)=\bigcap _{r(q_{j})=p}r(q_{j})=p$.

對於第二個斷言，設 $xy\in q_{p}$。如果 $x\in q_{p}$，則無需證明。否則設 $x\notin q_{p}$。則存在 $q_{l}$ 使得 $x\notin q_{l}$，因此 $y^{k}\in q_{l}$ 對於某個合適的 $k$。因此 $y\in p$，因此 $y^{k_{j}}\in q_{j}$ 對於所有 $j$ 和合適的 $k_{j}$。選擇

$m:=\max\{k_{j}|r(q_{j})=p\}$.

那麼 $y^{m}\in q_{p}$。因此，$q_{p}$ 是初等的。 $\Box$

唯一性性質

一般而言，初等分解並不具有唯一性，但仍然，同一環中同一理想的任意兩個初等分解在某種程度上是相似的。經典的第一和第二唯一性定理揭示了這些相似性的一部分。

定理 19.14（第一唯一性定理）:

令 $I\leq R$ 是環 $r$ 中的一個理想，並假設我們給出了一個最小初等分解。

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$.

那麼素理想（定理 19.6） $p_{j}:=r(q_{j})$ 正好是理想 $r((I:x)),x\in R$ 中的素理想，因此與特定分解的選擇無關。也就是說，理想 $p_{j}$ 由 $I$ 唯一確定。

證明:

我們首先推匯出一個方程。根據定理 19.2 和引理 19.12，

$r((I:x))=r\left(\left(\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}:x\right)\right)=r\left(\bigcap _{j=1}^{n}(q_{j}:x)\right)=\bigcap _{j=1}^{n}r((q_{j}:x))$.

現在我們固定 $q_{j}$ 並區分幾種情況。

1. 如果 $x\in q_{j}$，則顯然 $(q_{j}:x)=R$。
2. 如果 $x\notin p_{j}$（其中再次有 $p_{j}=r(q_{j})$），那麼如果 $sx\in q_{j}$，我們必須有 $s\in q_{j}$，因為 $x$ 的任何冪都不包含在 $q_{j}$ 中。
3. 如果 $x\in p_{j}$，但 $x\notin q_{j}$，我們有 $r((q_{i}:x))=p_{i}$，因為
   ${\begin{aligned}r\in r((q_{i}:x))&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :r^{k}x\in q_{i}\\&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :\exists m\in \mathbb {N} :(r^{k})^{m}\in q_{i}\\&\Leftrightarrow r\in p_{i}.\end{aligned}}$

總之，我們發現

$r((I:x))=\bigcap _{j=1 \atop x\notin q_{j}}^{n}p_{j}$.

首先假設 $r((I:x))$ 是素數。然後素數迴避引理意味著 $r((I:x))$ 包含在 $p_{j}$ 中的其中一個，$x\notin q_{j}$，並且因為 $p_{j}=r((q_{j},x))\subseteq r((I:x))$，$r((I:x))=p_{j}$。

現在令 $p_{j}$ 對於 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ 為已知。由於給定的初等分解是最小的，我們發現 $x\in R$ 使得 $x\notin p_{j}$，但 $x\in \bigcap _{l=1 \atop l\neq j}^{n}p_{l}$。在這種情況下，根據上面的等式， $r((I:x))=p_{j}$。$\Box$

這個定理推動了以下定義，並使其成為可能

定義 19.15:

令 $I$ 是任何具有最小初等分解的理想

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$.

則理想 $p_{j}:=r(q_{j})$ 被稱為屬於 $I$ 的 素理想。

我們現在證明兩個引理，每個引理都將在下面產生第二唯一性定理的證明（見下文）。

引理 19.16:

令 $I\leq R$ 是一個具有初等分解的理想

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$,

並且再次令 $p_{j}:=r(q_{j})$ 對於所有 $j$。如果我們定義

$q_{j}':=\{x\in R|(I:x)\not \subseteq p_{j}\}$,

那麼 $q_{j}'$ 是 $R$ 的一個理想，且 $q_{j}'\subseteq q_{j}$。

證明:

令 $a,b\in q_{j}'$。存在 $c\notin p_{j}$ 使得 $c\langle a\rangle \subseteq I$ 且 $c\notin p_{j}$，類似地存在一個關於 $b$ 具有類似性質的 $d$。因此 $cd\langle a-b\rangle \subseteq I$，但 $cd\notin p_{j}$，因為 $p_{j}$ 是素數。同時，$cd\langle ab\rangle \subseteq I$。因此，我們得到了一個理想。

令 $x\in q_{j}'$。存在 $c\notin p_{j}$ 使得

$c\langle x\rangle \subseteq I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$.

特別地，$cx\in q_{i}$。由於 $c$ 的任何冪都不在 $q_{i}$ 中，所以 $x\in q_{i}$。$\Box$

引理 19.17:

設$S\subseteq R$ 是乘法封閉的，設

$\pi _{S}:R\to S^{-1}R,r\mapsto r/1$

是標準態射。設$I$ 是一個可分解理想，也就是說

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$

對於素理想$q_{j}$，並對$q_{j}$ 進行編號，使得前$r$ 個$q_{j}$ 與$S$ 的交集為空，而其餘的則有非空交集。那麼

$\pi _{S}^{-1}\circ \pi _{S}(I)=\bigcap _{j=1}^{r}q_{r}$.

證明:

我們有

$\pi _{S}(I)=\pi _{S}\left(\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}\right)=\bigcap _{j=1}^{n}\pi _{S}(q_{j})$

根據定理 9.？。如果現在$S\cap q_{j}\neq \emptyset$，引理 9.？ 產生$\pi _{S}(q_{j})=S^{-1}R$。因此，

$\pi _{S}(I)=\bigcap _{j=1}^{n}\pi _{S}(q_{j})=\bigcap _{j=1}^{r}\pi _{S}(q_{j})$.

對兩邊應用$\pi _{S}^{-1}$，得到

$\pi _{S}^{-1}\circ \pi _{S}(I)=\bigcap _{j=1}^{r}\pi _{S}^{-1}\pi _{S}(q_{j})$,

以及

$\pi _{S}^{-1}\pi _{S}(q_{j})=q_{j}$

因為 $\supseteq$ 對一般對映成立，且 $x\in \pi _{S}^{-1}\pi _{S}(q_{j})$ 表示 $\pi _{S}(x)=r/s$，其中 $r\in q_{j}$ 且 $s\in S$；因此 $\pi _{S}(sx)=r/1$，也就是說 $(sx)/1=r/1$。這意味著

$\exists t\in S:tsx=tr$.

因此 $tsx\in q_{j}$，並且由於 $ts$ 的任何冪都不在 $q_{j}$ 中 ($S$ 在乘法下封閉，且 $S\cap q_{j}=\emptyset$)，$x\in q_{j}$.$\Box$

定義 19.18:

令 $I$ 為一個可進行初等分解的理想，並令 $P\subseteq \operatorname {Spec} R$ 為 $R$ 的一組素理想，它們都屬於 $I$。 當且僅當對於每個素理想 $p\in P$，如果 $p'$ 是一個屬於 $I$ 的素理想，且 $p'\subseteq p$，那麼 $p'\in P$ 也是。

定理 19.19（唯一性定理二）:

令 $I$ 為一個具有最小初等分解的理想。 如果 $P=\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{k}}\}$ 是屬於 $I$ 的素理想集合的子集，且是孤立的，那麼

$\bigcap _{l=1}^{k}q_{i_{l}}$

與產生 $q_{i_{l}}$ 的特定最小初等分解無關。

請注意，應用於僅包含一個素理想的縮減集，這意味著如果素理想 $p_{i}$ 的所有素子理想都屬於 $I$，那麼相應的 $q_{i}$ 是預先確定的。

證明 1（使用引理 19.16）:

我們首先將定理簡化為 $P$ 是屬於 $I$ 的素理想的所有素子理想的集合的情況。令 $P$ 為任何縮減系統。對於該集合中的每個最大元素 $p_{r}$（關於包含關係），定義 $P_{r}$ 為 $P$ 中包含在 $p_{r}$ 中的所有理想的集合。由於 $P$ 是有限的，

$P=\bigcup _{p_{r}{\text{ maximal in }}P}P_{r}$;

這不需要是一個不相交的並集（請注意，這些不是最大理想！）。因此

$\bigcap _{l=1}^{k}q_{i_{l}}=\bigcap _{p_{r}{\text{ maximal in }}P}\bigcap _{p_{j}\in P_{r}}q_{j}$.

因此，令 $p$ 為屬於 $I$ 的理想，令 $P=\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{k}}\}$ 為 $p$ 的子理想的孤立系統。令 $p_{j_{1}},\ldots ,p_{j_{m}}$ 為所有屬於 $I$ 且不在 $P$ 中的所有主要理想。對於這些理想，我們有 $p_{j_{l}}\not \subseteq p$，因此我們發現 $b_{j_{l}}\in p_{j_{l}}\setminus p$。對於每個 $l$ 取足夠大的 $s(l)\in \mathbb {N}$，使得 $b_{j_{l}}^{s(l)}\in q_{j_{l}}$。那麼

$b:=\prod _{l=1}^{m}b_{j_{l}}^{s(l)}\in \bigcap _{l=1}^{m}q_{j_{l}}$,

這就是為什麼 $b\bigcap _{p_{t}\in P}q_{t}\subseteq I$。由此得出

$\bigcap _{p_{t}\in P}q_{t}\subseteq q'$,

其中 $q$ 是 $I$ 的初等分解中與 $p$ 相關聯的元素，因為顯然對於左側的每個元素 $x$，$bx\in I$，因此 $b\langle x\rangle \subseteq I$，但同時 $b\notin p$。另一方面，$p_{t}\subseteq p$ 意味著 $q\subseteq q_{t}$。因此，對於任何這樣的 $t$，引理 19.16 意味著

$q'\subseteq q\subseteq q_{t}$,

這反過來意味著

$\bigcap _{p_{t}\in P}q_{t}\supseteq q'$.$\Box$

證明 2（使用引理 19.17）:

令 $\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{k}}\}$ 是屬於 $I$ 的孤立素理想系統。選取

$S:=R\setminus (p_{i_{1}}\cup \ldots \cup p_{i_{k}})=(R\setminus p_{i_{1}})\cap \cdots \cap (R\setminus p_{i_{k}})$,

由於它是乘法封閉子集的交集，因此它是乘法封閉的。$I$分解成對應的$p_{i_{l}}$的素理想就是那些與$S$沒有交集的素理想，因為在$I$分解中任何其他素理想$q_{j}$都必須包含一個元素，該元素位於所有$\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{k}}\}$之外，否則它的根將是其中之一（根據孤立性）。因此，引理 19.17 給出了

$\bigcap _{l=1}^{k}q_{i_{l}}=\pi _{S}^{-1}\circ \pi _{S}(I)$

並且我們擁有特定分解的獨立性。 $\Box$

屬於理想的素理想的特徵

以下是有關於素理想分解的有用定理。

首先，我們給出關於一般素理想的一個命題。

命題 19.20:

設$R$是一個（交換）環，設$p\leq R$是一個素理想。如果$p$包含

某些任意理想的交集$\bigcap _{j=1}^{n}I_{j}$或乘積$I_{1}\cdot I_{2}\cdots I_{n}$

那麼它就完全包含了$I_{j}$中的一個。

證明:

由於乘積包含在交集中，因此只需在$I_{1}\cdots I_{n}\subseteq p$的假設下證明該定理。

實際上，假設所有$I_{1},\ldots ,I_{n}$ 均不包含在 $p$ 中。選擇 $r_{j}\in I_{j}\setminus p$，其中 $j=1,\ldots ,n$。由於 $p$ 是素數，則 $r_{1}\cdots r_{n}\notin p$。但它在乘積中，矛盾。$\Box$

此命題對推論 19.22 中給出的初等分解具有深遠的影響。但首先，我們需要一個引理。

引理 19.21:

令 $q\leq R$ 為一個初等理想，並假設 $p\leq R$ 是一個素數，使得 $q\subseteq p$。則 $r(q)\subseteq p$。

證明:

如果 $x^{n}\in q$，則 $x\in p$。$\Box$

推論 19.22:

令 $I$ 為一個允許初等分解的理想

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$.

如果 $p\leq R$ 是任何包含 $I$ 的素數理想，則它也包含屬於 $I$ 的素數理想。此外，屬於 $I$ 的素數理想正是那些在 $V(I)\subseteq \operatorname {Spec} (R)$ 上由包含誘導的部分序關係下的最小元。

證明:

第一個斷言來自命題 19.20 和引理 19.21。第二個斷言成立，因為任何屬於 $I$ 的素理想都包含 $I$。$\Box$