交換代數/根式，強 Nakayama

理想的根式

定義 13.1:

令 $R$ 為一個環， $I\leq R$ 為一個理想。 $I$ 的 **根式**，記為 $r(I)$ ，是

r(I):=\{r\in R|\exists n\in \mathbb {N} :r^{n}\in I\}

.

一個 **根式理想** 是一個理想 $I$ ，使得 $r(I)=I$ .

定理 13.2:

令 $R$ 為一個環， $I\leq R$ 為一個理想。則

r(I)=\bigcap _{p{\text{ prime}} \atop I\subseteq p}p

.

證明:

對於 $\subseteq$ ，請注意 $s^{n}\in I\subseteq p\Rightarrow s\in p$ 。對於 $\supseteq$ ，假設對於任何 $n$ ， $s^{n}\in r(I)$ 都不成立。構造商環 $R/I$ 。根據定理 12.3，選擇一個素理想 $q\leq R/I$ ，它與乘法封閉集 $\{s^{n}+I|n\in \mathbb {N} _{0}\}$ 無交集。構造理想 $q:=\pi ^{-1}(p)$ 。 $p$ 是一個素理想，它包含 $I$ 並且與 $\{s^{n}|n\in \mathbb {N} _{0}\}$ 無交集。因此 $s$ 不在右側。 $\Box$

推論 13.3:

理想的根是理想。 $\Box$

證明:

理想的交集是理想。 $\Box$

定義 13.4:

設 $R$ 為一個環， $I\leq R$ 。 $I$ 的 **Jacobson 根** 定義如下

j(I):=\bigcap _{m{\text{ maximal}} \atop I\subseteq m}m

.

定理 13.5:

令 $R$ 為環， $I\leq R$ 。 $j(I)$ 是一個根理想。

證明:

顯然， $j(I)\subseteq r(j(I))$ 。此外，根據定理 13.2， $r(j(I))\subseteq j(j(I))=j(I)$ ，最後一個等式由 $I\subseteq m\Rightarrow j(I)\subseteq m$ 推出。 $\Box$

零理想的根

定義 13.6:

令 $R$ 為環。 $\{0\}$ 是一個理想。 $R$ 的**零根**，記為 ${\mathcal {N}}$ ，定義為

{\mathcal {N}}:=r(\{0\})

.

注意，根據定義

{\mathcal {N}}=\{r\in R|r^{n}=0\}

,

是所有**冪零元素**的集合。

定理 13.7:

{\mathcal {N}}=\bigcap _{p\leq R \atop p{\text{ prime}}}p

.

證明:

定理 13.2。 $\Box$

定義 13.8:

令 $R$ 為環。 $\{0\}$ 是一個理想。 $R$ 的**雅可比根**，記為 ${\mathcal {J}}$ ，定義為

{\mathcal {J}}:=\bigcap _{m\leq R \atop m{\text{ maximal}}}m

.

我們有 ${\mathcal {J}}=j(\{0\})$ .

如果 $R$ 是一個環， $R^{\times }$ 是 $R$ 的所有單位元素的集合。

定理 13.9:

令 $R$ 為一個環， ${\mathcal {J}}$ 為其 Jacobson 根。則

r\in {\mathcal {J}}\Leftrightarrow \forall s\in R:1-rs\in R^{\times }

.

證明:

$\Rightarrow$ : 令 $r\in {\mathcal {J}}$ ， $s\in R$ 。假設 $1-rs\notin R^{\times }$ 。構造理想 $\langle 1-rs\rangle$ ; 根據定理 12.8，存在 $m\leq R$ 使得 $\langle 1-rs\rangle \subseteq m$ 且 m 為極大理想，因此 $1-rs\in m$ 。如果 $r\in {\mathcal {J}}\Rightarrow r\in m$ ，則 $1\in m$ ，矛盾。

$\Leftarrow$ : 假設對於所有 $s$ 和 $r\notin {\mathcal {J}}$ ，有 $1-rs\in R^{\times }$ 。那麼存在一個不包含 $r$ 的極大理想 $m$ 。因此， $m+\langle r\rangle =R$ ，並且 $1=t+rs$ ，其中 $t\in m$ 且 $s\in R$ 。因此， $t=1-rs$ 不是單位。 $\Box$

根式和區域性化

定義 13.10:

如果 $R$ 是一個環， $S\subseteq R$ 是一個乘法子集， $I\leq R$ 是一個理想，設定

S^{-1}I:=\{i/s|i\in I,s\in S\}\subseteq S^{-1}R

,

關於 $S$ 的理想 $I$ 的區域性化。

定理 13.11:

令 $R$ 為一個環， $I\leq R$ 為一個理想， $S\subseteq R$ 為一個乘法封閉子集。那麼

r(S^{-1}I)=S^{-1}r(I)

.

證明:

令 $r/s\in r(S^{-1}I)$ ，即 $r^{n}/s^{n}\in S^{-1}(I)$ 。則 $r^{n}/t^{n}=i/s$ ， $i\in I$ ， $s\in S$ 。存在 $u\in S$ 使得 $u(r^{n}s-t^{n}i)=0$ 。因此 $usr^{n}\in I$ ，進而 $(usr)^{n}\in I$ 且 $usr\in r(I)$ 。因此， $r/s=usr{\big /}us^{2}\in S^{-1}r(I)$ .