定義 10.1 ( R {\displaystyle R} -mod):
對於每個環 R {\displaystyle R} ，存在一個模範疇，即 R {\displaystyle R} 上的模，以模同態為態射。這個範疇被稱為 ** R {\displaystyle R} -mod**。
我們現在旨在證明，如果 R {\displaystyle R} 是一個環，則 R {\displaystyle R} -mod 是一個阿貝爾範疇。我們透過驗證模具有作為阿貝爾範疇所需的所有性質來做到這一點。
定理 10.1:
模範疇具有核。
證明:
對於 R {\displaystyle R} -模 M , N {\displaystyle M,N} 和態射 f : M → N {\displaystyle f:M\to N} ，我們定義
定理 10.?:
令 R {\displaystyle R} 為一個環，令 S ⊆ M {\displaystyle S\subseteq M} 為乘法封閉的。令 M , N , K {\displaystyle M,N,K} 為 R {\displaystyle R} -模。那麼
- 範疇論註釋
是一個環，則 -mod 是一個阿貝爾範疇。我們透過驗證模具有作為阿貝爾範疇所需的所有性質來做到這一點。-模 
和態射 
，我們定義
.
精確蘊涵 
精確。