交換代數/Zariski 拓撲下的譜

定義 16.1:

設 $R$ 為交換環。 $R$ 的譜為集合

\operatorname {Spec} (R):=\left\{p\leq R|p{\text{ prime}}\right\}

;

即 $R$ 的所有素理想的集合。

在 $\operatorname {Spec} R$ 上，我們將定義一個拓撲，將 $\operatorname {Spec} R$ 變成拓撲空間。這個拓撲被稱為Zariski 拓撲，儘管只有亞歷山大·格羅滕迪克給出了上述一般性的定義。

閉集

定義 16.2:

設 $R$ 為環，設 $S\subseteq R$ 為 $R$ 的子集。然後定義

V(S):=\left\{p\in \operatorname {Spec} R|S\subseteq p\right\}

.

集合 $V(S)$ ，其中 $S$ 在 $R$ 的子集上取值，滿足以下等式

命題 16.3:

設 $R$ 為環，設 $(S_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為 $R$ 的子集族。

$V(\emptyset )=\operatorname {Spec} R$ 以及 $V(R)=\emptyset$
$\bigcap _{\alpha \in A}V(S_{\alpha })=V\left(\bigcup _{\alpha \in A}S_{\alpha }\right)$
如果 $A=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ 是有限的，那麼 $V(S_{\alpha _{1}})\cup \cdots \cup V(S_{\alpha _{n}})=V(S_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap S_{\alpha _{n}})$ .