交換代數/凱萊-哈密頓定理和中山引理

交換環中的行列式

我們現在將推匯出交換環中行列式的概念。

定義 7.1 (行列式):

令 $R$ 為交換環，令 $n\in \mathbb {N}$。行列式 是一個函式 $\det :R^{n\times n}\to R$ 滿足以下三個公理：

1. $\det I_{n}=1$，其中 $I_{n}$ 是 $n\times n$ 單位矩陣。
2. 如果 $A$ 是一個矩陣，使得兩列相鄰，則 $\det A=0$。
3. 對於每個 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ 我們有 $\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}+c\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})+c\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$，其中 $\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n},\mathbf {b} _{j}$ 是列，$c\in R$。

我們將在後面看到，只有一個行列式存在。

定理 7.2（行列式性質）:

1. 如果 $A\in R^{n\times n}$ 的一列全是零，那麼 $\det A=0$。
2. 如果 $A$ 是一個矩陣，並且在一列中新增相鄰列的倍數，那麼 $\det A$ 不會改變。
3. 如果 $A$ 的兩列相鄰且交換位置，那麼 $\det A$ 將乘以 $-1$。
4. 如果矩陣 $A$ 的任意兩列交換位置，那麼 $\det A$ 將乘以 $-1$。
5. 如果 $A$ 是一個矩陣，並且在一列中新增另一列的倍數，那麼 $\det A$ 不會改變。
6. 如果 $A$ 是一個矩陣，並且有兩列相等，那麼 $\det A=0$。
7. 令 $\sigma \in S_{n}$ 是一個排列，其中 $S_{n}$ 是 $n$ 階 對稱群。如果 $A=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$，那麼 $\det(\mathbf {a} _{\sigma (1)},\ldots ,\mathbf {a} _{\sigma (n)})=\operatorname {sgn} \sigma \det A$。

證明:

1. 令 $A=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$，其中第 $j$ 列 $\mathbf {a} _{j}$ 為零向量。然後，根據行列式公理 3，令 $c=-1$，

$\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}-\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})-\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=0$.

或者，我們也可以令 $c=1$ 且 $\mathbf {b} _{j}=\mathbf {a} _{j}=\mathbf {0}$，得到

$\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}+c\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=(1+c)\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$,

從該公式中，透過從兩邊減去 $\det A$，可以得出定理。

這些證明對應於線性對映 $T$（在任何上下文中）的 $T0=0$ 的證明。

2. 如果我們設定 $\mathbf {b} _{j}=\mathbf {a} _{j+1}$ 或 $\mathbf {b} _{j}=\mathbf {a} _{j-1}$（取決於我們是將列新增到當前列的左側還是右側），那麼公理 3 給出了

$\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}+c\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})+c\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$,

其中後一個行列式為零，因為我們有兩個相鄰的相等列。

3. 考慮兩個矩陣 $A:=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$ 和 $B:=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j+1},\mathbf {a} _{j},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$。根據 7.2、2 和行列式的公理 3，我們有

${\begin{aligned}\det B&=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j+1}+\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j},\ldots ,\mathbf {a} _{n})\\&=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j+1}+\mathbf {a} _{j},-\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})\\&=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},-\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})\\&=-\det A\end{aligned}}$.

4. 我們交換第 $j$ 列和第 $k$ 列，首先將第 $j$ 列依次移動到第 $k$ 列的位置（使用 $|j-k|$ 次交換），並將當前位於第 $k$ 列的位置（距離第 $j$ 列的位置更近一步）移動到第 $j$ 列的位置（使用 $|j-k|-1$ 次交換）。總共我們使用了奇數次交換，而所有其他列都保持在相同的位置，因為它們向右移動了一次，向左移動了一次。因此，第 4 條結論來自將第 3 條結論應用於每次交換。

5. 假設我們要將 $c\cdot \mathbf {a} _{k}$ 加到第 $j$ 列。然後，我們首先使用第 4 條結論將第 $j$ 列移到與 $\mathbf {a} _{k}$ 相鄰的位置，然後使用第 2 條結論進行加法，而不會改變行列式，最後再次使用第 4 條結論將第 $j$ 列移回到其原始位置。總的來說，我們對行列式唯一做的改變就是兩次乘以 $-1$，這在一般環中也是可以抵消的。

6. 假設第 $j$ 列和第 $k$ 列相等，$k\neq j$。然後，我們從第 $k$ 列中減去第 $j$ 列（或者反過來），而不會改變行列式，得到一個包含零列的矩陣，然後應用第 1 條結論。

7. 將 $\sigma$ 分解成交換，反覆使用第 4 條結論，並進一步使用 $\operatorname {sgn}$ 是一個群同態。$\Box$

注意，我們在前面的證明中只使用了公理 2 和 3。

以下引理將幫助我們證明行列式的唯一性，以及公式$\det(AB)=\det A\det B$。

引理 7.3:

令$A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ 和 $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ 是兩個$n\times n$ 矩陣，其元素屬於交換環$R$。那麼

$\det(AB)=\det A\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (1)}\cdots b_{n,\sigma (n)}$.

證明:

矩陣$AB$ 的第$k$ 列是$\sum _{\nu =1}^{n}b_{\nu ,k}\mathbf {a} _{\nu }$。因此，根據行列式公理 3 和定理 7.2、7. 和 6.，我們得到，用$AB=:C=(c_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}=(\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{n})$ 表示

${\begin{aligned}\det(AB)&=\sum _{\nu _{1}=1}^{n}b_{\nu _{1},1}\det(\mathbf {a} _{\nu _{1}},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{n})\\&=\sum _{\nu _{1}=1}^{n}\sum _{\nu _{2}}^{n}b_{\nu _{1},1}b_{\nu _{2},2}\det(\mathbf {a} _{\nu _{1}},\mathbf {a} _{\nu _{2}},\mathbf {c} _{3},\ldots ,\mathbf {c} _{n})\\&=\cdots =\sum _{\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}=1}^{n}b_{\nu _{1},1}\cdots b_{\nu _{n},n}\det(\mathbf {a} _{\nu _{1}},\ldots ,\mathbf {a} _{\nu _{n}})\\&=\det A\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (1)}\cdots b_{n,\sigma (n)}\end{aligned}}$$\Box$

定理 7.4（行列式的唯一性）:

對於每個交換環，最多隻有一個行列式，如果它存在，它等於

$\det C=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )c_{1,\sigma (1)}\cdots c_{n,\sigma (n)}$.

證明:

令 $C\in R^{n\times n}$ 是一個任意矩陣，並設定 $A=I_{n}$ 和 $B=C$ 在引理 7.3 中。那麼我們透過行列式公理 1 獲得（我們第一次使用該公理）

$\det C=\det(I_{n}C)=1\cdot \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )c_{1,\sigma (1)}\cdots c_{n,\sigma (n)}$.$\Box$

定理 7.5（行列式的乘法性）:

如果 $\det$ 是一個行列式，那麼

$\det(AB)=\det A\det B$.

證明:

從引理 7.3 和定理 7.4 中我們可以推斷出

$\det(AB)=\det(A)\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (1)}\cdots b_{n,\sigma (n)}=\det(A)\det(B)$.$\Box$

定理 7.6（行列式的存在）:

設 $R$ 為一個交換環。那麼

$\det(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}$

是一個行列式。

證明:

首先，$I_{n}$ 在對角線以外的所有位置都具有非零項。因此，如果 $I_{n}=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$，那麼 $a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}$ 除了 $\sigma (1)=1,\ldots ,\sigma (n)=n$，即 $\sigma$ 為恆等對映時為零。因此 $\det(I_{n})=1$.

現在設 $A$ 為一個矩陣，其 $j$ 列和 $j+1$ 列相等。函式

$f:S_{n}\to S_{n},f(\sigma )=k\mapsto {\begin{cases}\sigma (k)&k\notin \{j,j+1\}\\\sigma (j)&k=j+1\\\sigma (j+1)&k=j\end{cases}}$

是雙射的，因為逆函式由 $f$ 本身給出。此外，由於 $f$ 等同於將 $\sigma$ 與另一個交換組合，它是符號反轉的。因此，我們有

${\begin{aligned}\det(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}\\&=\sum _{\operatorname {sgn} \sigma =1}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}-\sum _{\operatorname {sgn} \sigma =-1}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}\\&=\sum _{\operatorname {sgn} \sigma =1}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}-\sum _{\operatorname {sgn} \sigma =1}a_{1,f(\sigma )(1)}\cdots a_{n,f(\sigma )(n)}\end{aligned}}$.

現在，由於 $j$ 列和 $j+1$ 列的 $A$ 是相同的，$\forall k,l\in \mathbb {N} :a_{k,\sigma (l)}=a_{k,f(\sigma )(l)}$。因此 $\det A=0$。

線性來自每個被加數的線性

$\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots (a_{\sigma ^{-1}(j),j}+cb_{\sigma ^{-1}(j),j})\cdots a_{n,\sigma (n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{\sigma ^{-1}(j),j}\cdots a_{n,\sigma (n)}+c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots b_{\sigma ^{-1}(j),j}\cdots a_{n,\sigma (n)}$.$\Box$

定理 7.7:

任何矩陣的行列式等於該矩陣的轉置的行列式。

證明:

觀察到求逆是$S_{n}$上的一個雙射，其逆由求逆給出 ($(\sigma ^{-1})^{-1}=\sigma$)。進一步觀察到$\operatorname {sgn}(\sigma )=\operatorname {sgn}(\sigma ^{-1})$，因為我們只是按相反的順序應用所有對換。所以，

$\det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}=\sum _{\sigma ^{-1}\in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma ^{-1})a_{1,\sigma ^{-1}(1)}\cdots a_{n,\sigma ^{-1}(n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (n),n}=\det A^{t}$.$\Box$

定理 7.8 (列展開):

設 $A$ 為在交換環 $R$ 上的 $n\times n$ 矩陣。對於 $1\leq i,j\leq n$，定義 $A_{i,j}$ 為從 $A$ 中劃去第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的 $(n-1)\times (n-1)$ 矩陣。那麼對於任何 $k\in \{1,\ldots ,n\}$，我們有

$\det A=\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu +k}a_{\nu ,k}\det A_{\nu ,k}$.

證明 1:

我們根據定理 7.5 和 7.6 給出的行列式公式證明該定理。

設 $k\in \{1,\ldots ,n\}$ 為固定值。對於每個 $\nu \in \{1,\ldots ,n\}$，我們定義

$f:S_{n-1}\to S_{n},f(\sigma ):=m\mapsto {\begin{cases}\nu &m=\nu \\\sigma (m)&m<\nu \wedge \sigma (m)<\nu \\\sigma (m)+1&m<\nu \wedge \sigma (m)\geq \nu \\\sigma (m-1)&m>\nu \wedge \sigma (m)<\nu \\\sigma (m-1)+1&m>\nu \wedge \sigma (m)\geq \nu \end{cases}}$.

那麼

${\begin{aligned}\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu ,k}\det A_{\nu ,k}&=\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu +k}a_{\nu ,k}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,f(\sigma )(1)}\cdots a_{k-1,f(\sigma )(k-1)}a_{k+1,f(\sigma )(k+1)}\cdots a_{n,f(\sigma )(n)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}.\end{aligned}}$$\Box$

證明 2:

我們注意到，以上所有推導都可以用行而不是列來完成（這僅僅意味著交換 $a_{i,j}$ 和 $a_{j,i}$ 每次），最終得到相同的行列式公式，因為

$\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}=\sum _{\sigma ^{-1}\in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma ^{-1})a_{1,\sigma ^{-1}(1)}\cdots a_{n,\sigma ^{-1}(n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (n),n}$

如定理 7.7 中所述。

因此，我們證明了函式 $R^{n\times n}\to R$ 由公式 $\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu +k}a_{\nu ,k}\det A_{\nu ,k}$ 滿足 7.1 中的 1-3，但用行而不是列，然後用行而不是列應用定理 7.4。

1.

令 $A=I_{n}$ 得到

$\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det A_{\nu ,k}=(-1)^{2k}a_{k,k}\det A_{k,k}=1\cdot 1=1$.

2.

令$A$ 有兩行相鄰且相等，例如第 $j$ 行和第 $j+1$ 行。那麼

$\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det A_{\nu ,k}=(-1)^{j+k}\det A_{j,k}+(-1)^{j+1+k}\det A_{j+1,k}=0$,

因為除了可能 $\nu =j$ 和 $\nu =j+1$ 外，每個 $A_{\nu ,k}$ 都有兩行相鄰且相等，因此根據定理 7.6，這些情況下的行列式都為零，並且 $A_{j,k}=A_{j+1,k}$，因為在兩者中我們都刪除了“相同的”行。

3.

定義 $B:=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}:=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}+c\mathbf {b} _{j}\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})^{t}$，並且對於每個 $\nu ,k\in \{1,\ldots ,n\}$，定義 $C_{\nu ,k}$ 為從矩陣 $C:=(c_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}:=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {b} _{j}\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})^{t}$ 中刪除第 $\nu$ 行和第 $k$ 列得到的矩陣。那麼根據定理 7.6 和行列式的公理 3，

${\begin{aligned}\sum _{\nu =1}^{n}b_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det B_{\nu ,k}&=\sum _{\nu =1}^{j-1}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}(\det A_{\nu ,k}+c\det C_{\nu ,k})+(-1)^{j+k}(a_{j,k}+cb_{j,k})\det A_{j,k}+\sum _{\nu =j+1}^{n}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}(\det A_{\nu ,k}+c\det C_{\nu ,k})\\&=\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det A_{\nu ,k}+c\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det C_{\nu ,k}\\&=\det A+c\det C\end{aligned}}$.

因此，行列式按行是線性的。 $\Box$

為了完整起見，我們也注意到以下引理

引理 7.9:

令 $A$ 是一個可逆矩陣。 那麼 $\det(A)$ 是可逆的。

證明:

事實上，$\det(A)^{-1}=\det(A^{-1})$ 由於行列式的乘法性。 $\Box$

反之亦然，將在下一小節中證明。

習題

• 習題 7.1.1: 論證行列式，看作從所有矩陣集合（其中標量是 $1\times 1$-矩陣）的對映，是冪等的。

一般情況下克萊姆法則

定理 7.10（克萊姆法則，線性方程的解）:

令 $R$ 為一個交換環，令 $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ 為一個在 $R$ 中有元素的矩陣，令 $\mathbf {b} =(b_{1},\ldots ,b_{n})^{t}$ 為一個向量。如果 $A$ 可逆，則方程 $Ax=\mathbf {b}$ 的唯一解為

$x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}$,

其中 $A_{j}$ 是透過將 $A$ 的第 $j$ 列替換為 $\mathbf {b}$ 而得到的矩陣。

證明 1:

令 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ 為任意但固定的值。 $A$ 的行列式在第一列中是線性的，因此它構成了第一列中的線性對映 $L_{j}:R^{n}\to R$，將任何向量對映到 $A$ 的行列式，其中 $j$ 列被該向量替換。如果 $\mathbf {a} _{j}$ 是 $A$ 的第 $j-$ 列，則 $L_{j}(\mathbf {a} _{j})=\det(A)$。此外，如果我們在 $L_{j}$ 中插入不同的列 $\mathbf {a} _{k}$，我們將得到零，因為我們得到了一個矩陣的行列式，其中列 $\mathbf {a} _{k}$ 出現了兩次。現在我們考慮方程組

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=b_{1}\\&\vdots \\a_{n,1}x_{1}+\cdots +a_{n,n}x_{n}&=b_{n},\end{cases}}$

其中 $(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}$ 是系統 $Ax=b$ 的唯一解，由於它由 $A^{-1}b$ 給出，所以該解存在，因為 $A$ 是可逆的。由於 $L_{j}$ 是線性的，我們找到了一個 $1\times n$ 矩陣 $(c_{1},\ldots ,c_{n})$ 使得對於所有 $\mathbf {v} \in R^{n}$

$(c_{1},\ldots ,c_{n})\cdot \mathbf {v} =L_{j}(\mathbf {v} )$;

實際上，根據定理 7.8，$c_{k}=(-1)^{j+k}\det(A_{j,k})$。我們現在以以下方式將上述線性方程組的各行相加：我們將第一行乘以 $c_{1}$，第二行乘以 $c_{2}$，依此類推。根據我們的考慮，這將得出結果

$\det(A)x_{j}=L_{j}(\mathbf {b} )$.

根據引理 7.9，$\det(A)$ 是可逆的。因此，我們得到

$x_{j}=(\det(A))^{-1}L_{j}(\mathbf {b} )=(\det(A))^{-1}\det(A_{j})$

因此證明了定理。$\Box$

證明 2:

對於所有 $j\in \{1,\ldots ,n\}$，我們定義矩陣

$X_{j}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&x_{1}&0&\cdots &&0\\0&1&\cdots &0&x_{2}&0&\cdots &&0\\\vdots &&\ddots &&\vdots &&&&\vdots \\\vdots &&&&\vdots &\ddots &&&\vdots \\0&&\cdots &0&x_{n}&0&\cdots &1&0\\0&&\cdots &0&x_{n}&0&\cdots &0&1\end{pmatrix}};$

此矩陣表示一個單位矩陣，其中第 $j$ 列被向量 $(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathbf {T} }$ 替換。透過展開第 $j$ 列，我們發現該矩陣的行列式由 $\det(X_{j})=x_{j}$ 給出。

現在我們注意到如果 $A=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$，那麼 $X_{j}=A^{-1}(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},A\mathbf {b} ,\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=A^{-1}A_{j}$。因此

$x_{j}=\det(A^{-1}A_{j})=\det(A^{-1})\det(A_{j})=\det(A)^{-1}\det(A_{j})$,

其中最後一個等式遵循引理 7.9 中的結論。$\Box$

定理 7.11（克萊姆法則，矩陣求逆）:

令 $A$ 為一個在環 $R$ 中的元素的 $n\times n$ 矩陣。我們回顧一下，矩陣 $A$ 的餘因子矩陣 $\operatorname {Cof} A$ 是一個矩陣，其中 $(i,j)$-th 項是

$(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$,

其中 $A_{i,j}$ 是透過從 $A$ 中劃去第 $i$ 行和第 $j-$ 列得到的。我們進一步回顧一下，伴隨矩陣 $\operatorname {adj} (A)$ 由以下給出

$\operatorname {adj} (A):=\operatorname {Cof} (A)^{\mathsf {T}}$.

根據這個定義，我們有

$\operatorname {adj} (A)A=\det(A)I_{n}$.

特別地，如果 $\det(A)$ 是 $R$ 中的單位元，那麼 $A$ 可逆，且

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A)$.

證明:

對於 $j\in \{1,\ldots ,n\}$，我們令 $\mathbf {b} _{j}:=e_{j}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)^{T}$，其中 0 在 $j$ 位。此外，我們令 $L_{j}$ 為定理 7.10 證明 1 中的線性函式，以及 $M_{j}$ 為它的矩陣。那麼 $\operatorname {adj} (A)$ 由下式給出

$\operatorname {adj} (A)={\begin{pmatrix}-M_{1}-\\\vdots \\-M_{n}-\end{pmatrix}}$

根據定理 7.8。因此，

$\operatorname {adj} (A)A={\begin{pmatrix}-M_{1}A-\\\vdots \\-M_{n}A-\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\det(A)&0&\cdots &\cdots &0\\0&\det(A)&&0&\vdots \\\vdots &&\ddots &&\vdots \\\vdots &0&&\det(A)&0\\0&\cdots &\cdots &0&\det(A)\end{pmatrix}},$

其中我們利用了定理 7.10 證明 1 中建立的 $L_{j}$ 的性質。$\Box$

定理

現在，我們可以最終應用我們已經建立的機制來證明以下兩個基本定理。

定理 7.12（凱萊-哈密爾頓定理）:

設 $M$ 是一個有限生成的 $R$-模，設 $\phi :M\to M$ 是一個模同態，設 $I\leq R$ 是 $R$ 的一個理想，使得 $\phi (M)\subseteq IM$。那麼存在 $n\in \mathbb {N}$ 和 $a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}\in I$ 使得

$\phi ^{n}+a_{n-1}\phi ^{n-1}+\cdots +a_{1}\phi +a_{0}=0$;

這個等式應該理解為

$\forall m\in M:\phi ^{n}(m)+a_{n-1}\phi ^{n-1}(m)+\cdots +a_{1}\phi (m)+a_{0}m=0$,

其中 $\phi ^{n}(m)$ 表示對 $m$ 應用 $\phi$ $n$ 次。

注意，關於 $\phi$ 的多項式是首一的，也就是說，首項係數是 $1$，即該環的單位元。

證明：假設 $\{m_{1},\ldots ,m_{n}\}$ 是 $M$ 的生成集。由於 $\phi (M)\subseteq IM$，我們可以寫成

$\phi (m_{j})=\sum _{k=1}^{n}b_{j,k}x_{k},~j\in \{1,\ldots ,n\}$ (*),

其中 $b_{k}\in I$ 對於每個 $k$ 都成立。我們現在定義一個新的交換環如下

${\tilde {R}}:=\{\phi ^{k}|k\in \mathbb {N} \}\cup R$,

其中我們將 $R$ 中的每個元素 $r$ 視為 $M$ 上的同態 $m\mapsto rm$。也就是說，${\tilde {R}}$ 是 $M$ 的同態環的子環（即，乘法由複合給出）。由於 $\phi$ 是 $R$-線性的，${\tilde {R}}$ 是交換的。

現在對於每個 $n\times n$ 矩陣 $A$，其元素在 ${\tilde {R}}$ 中，我們可以將其與一個函式相關聯

$A():M^{n}\to M^{n},A\left((x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}\right):=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{1,k}(x_{1}),\ldots ,\sum _{k=1}^{n}a_{1,k}(x_{1})\right)$.

利用所有相關函式的線性性質，很容易看出對於另一個$n\times n$矩陣，其元素在${\tilde {R}}$中，稱為$B$，$AB$的關聯函式等於$A$和$B$的關聯函式的複合；也就是說，$(AB)(x)=A(B(x))$.

現在考慮到這一點，我們可以將系統 (*) 重寫如下

$A(x)=0$,

其中 $A$ 的第 $j,k$ 個元素為 $\delta _{j,k}\phi -b_{j,k}\in {\tilde {R}}$。 現在定義 $B:=\operatorname {adj} (A)$。 從克萊姆法則 (定理 7.11) 我們得到

$BA=I_{n}\det(A)$,

這就是為什麼

$(\det Ax_{1},\ldots ,\det Ax_{n})^{t}=(BA)(x)=B(A(x))=B(0)=\mathbf {0}$，零向量。

因此，$\det A\in {\tilde {R}}$ 是零對映，因為它將所有生成元對映到零。現在進一步，如定理 7.4 中給出的表示所見，它具有以下形式

$\phi ^{n}+a_{n-1}\phi ^{n-1}+\cdots +a_{1}\phi +a_{0}$

對於合適的 $a_{n-1},\ldots ,a_{0}\in I$.$\Box$

定理 7.13（中山引理）:

令 $R$ 為一個環，$M$ 為一個有限生成的 $R$ 模，$I\leq R$ 為一個理想，使得 $IM=M$。那麼存在一個 $x\equiv 1\mod I$ 使得 $xM=0$.

證明:

在定理 7.12 中選擇 $\phi =\operatorname {Id_{M}}$ 以獲得 $m\in M$，使得

$\phi ^{n}(m)+a_{n-1}\phi ^{n-1}(m)+\cdots +a_{1}\phi (m)+a_{0}m=(1+a_{n-1}+\cdots +a_{0})m=0$

對於合適的 $a_{n-1},\ldots ,a_{0}\in I$，因為恆等式是冪等的。$\Box$