交換代數/無扭、平坦、射影和自由模

自由模

以下定義是線性代數的直接推廣。我們先重複我們在第 6 章中看到的定義。

定義 6.1（模的生成元）:

令 $M$ 是環 $R$ 上的模。$M$ 的一個生成集是 $\{m_{j}\}_{j\in J}\subseteq M$，使得

$\forall n\in M:\exists j_{1},\ldots ,j_{k}\in J,r_{1},\ldots ,r_{k}\in R:n=\sum _{l=1}^{k}r_{l}m_{j_{l}}$.

我們還有

定義 11.1:

令 $M$ 是 $R$-模。$M$ 的一個子集 $\{m_{j}\}_{j\in J}$ 稱為線性無關當且僅當，當 $j_{1},\ldots ,j_{n}\in J$ 時，我們有

$r_{1}m_{j_{1}}+\cdots +r_{n}m_{j_{n}}=0\Rightarrow r_{1},\ldots ,r_{n}=0$.

定義 11.2:

一個自由$R$-模是一個模$M$ 在$R$ 上，其中存在一個基，即$\{m_{j}\}_{j\in J}$ 的$M$ 子集是一個線性無關的生成集。

定理 11.3:

令$M_{\alpha },\alpha \in A$ 是自由模。那麼直和

$\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$

是自由的。

證明:

令基$\{e_{\beta }\}_{\beta \in B_{\alpha }}$ 的$M_{\alpha }$ 被給出。我們斷言

$\left\{\left(0,\ldots ,0,\overbrace {e_{\beta _{\alpha }}} ^{\alpha {\text{-th place}}},0,\ldots ,0\right){\big |}\alpha \in A,\beta _{\alpha }\in B_{\alpha }\right\}$

是

$M:=\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$.

的基。實際上，令任意元素$(m_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 被給出。然後根據假設，每個$m_{\alpha }$ 有分解

$m_{\alpha }=\sum _{j=1}^{n_{\alpha }}r_{j,\alpha }e_{\beta _{j,\alpha }}$

對於適合的 $e_{\beta _{j,\alpha }}\in \{e_{\beta }\}_{\beta \in B_{\alpha }}$。將這些求和，我們得到一個 $(m_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 在上述基中的分解。此外，這個分解必須是唯一的，否則投影會給出一個新的特定 $m_{\alpha }$ 的組合。$\Box$

一般情況下，反過來是不成立的！

定理 11.4:

令 $M,N$ 為自由 $R$ 模，基分別為 $\{e_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 和 $\{f_{\beta }\}_{\beta \in B}$。那麼

$M\otimes _{R}N$

是一個自由模，其基為

$\{e_{\alpha }\otimes f_{\beta }\}_{(\alpha ,\beta )\in A\times B}$,

其中我們簡寫為

$e_{\alpha }\otimes f_{\beta }:=[(e_{\alpha },f_{\beta })]$

（請注意，使用這種符號是相當常見的）。

證明:

我們首先證明我們假設的基構成一個生成系統。顯然，透過求和，我們只需要證明以下形式的元素

$m\otimes n$，$m\in M,n\in N$

可以用 $e_{\alpha }\otimes f_{\beta }$ 表示。因此，寫

$m=\sum _{j=1}^{\mu }r_{j}e_{\alpha _{j}}$ 和 $n=\sum _{i=1}^{\nu }s_{i}b_{\beta _{i}}$，

並根據張量積運算規則得到

$m\otimes n=\sum _{j=1}^{\mu }\sum _{i=1}^{\nu }r_{j}s_{i}e_{\alpha _{j}}\otimes b_{\beta _{i}}$.

另一方面，如果

$0=\sum _{\alpha \in A,\beta \in B}t_{\alpha ,\beta }e_{\alpha }\otimes f_{\beta }$

是一個線性組合（即除了有限個求和項外，其餘項都為零），那麼所有的 $t_{\alpha ,\beta }$ 必須為零。論證如下：固定 $\alpha ,\beta$ 並定義一個雙線性函式

$f:M\times N\to R,(m,n)\mapsto r_{\alpha }s_{\beta }$,

其中 $r_{\alpha }$，$s_{\beta }$ 分別是 $e_{\alpha }$，$f_{\beta }$ 在 $m$ 和 $n$ 的分解中的係數。根據張量積的泛性質，我們得到一個線性對映

$g:M\otimes N\to R$，其中 $g\circ \pi =f$，

其中 $\pi :M\times N\to M\otimes N$ 是商空間上的典型投影。 我們有以下方程

$g(e_{\alpha '}\otimes f_{\beta '})=f(e_{\alpha '},f_{\beta '})=[\alpha =\alpha '\wedge \beta =\beta ']$,

將給定的線性組合代入此對映，因此得到所需的結果。 $\Box$

投影模

以下是自由模的推廣

定義 11.5:

設 $M$ 是一個 $R$-模。 $M$ 稱為投影模當且僅當對於一個固定的模 $N$ 和一個固定的滿射 $f:N\twoheadrightarrow M$，每個其他以 $M$ 為陪域的模同態（稱為 $g:K\to M$）都有因式分解

.

定理 11.6:

每個自由模都是投影模。

證明:

選擇一個基 $\{m_{j}\}_{j\in J}$ 的 $M$，設 $f:N\twoheadrightarrow M$ 是滿射，設 $g:K\to M$ 是某個同態。 對於每個 $m_{j}$ 選擇 $n_{j}\in N$ 使得 $f(n_{j})=m_{j}$。 定義

$h:K\to N,h(k)=\sum _{i=1}^{l}r_{i}n_{j_{i}}$ 其中 $g(k)=\sum _{i=1}^{l}r_{i}m_{j_{i}}$.

這是定義明確的，因為描述 $g(k)$ 的線性組合是唯一的。此外，它是線性的，因為我們有

$g(k+rk')=\sum _{i=1}^{l}r_{i}m_{j_{i}}+r\sum _{i'=1}^{l'}r_{i}'m'_{j_{i}'}$,

其中右邊是與 $g(k)$ 和 $g(k')$ 相一致的線性組合之和，這就是為什麼 $h(k+rk')=h(k)+rh(k')$。透過 $f$ 的線性性和 $n_{j}$ 的定義，它具有所需的性質。$\Box$

投影模存在幾個等價定義。

定理 11.7:

模 $M$ 是投影的，當且僅當存在模 $N$ 使得 $K:=M\oplus N$ 是自由的。

證明:

$\Rightarrow$: 定義模

$L:=\bigoplus _{m\in M}R$

(這顯然是一個自由模) 和函式

$f:L\to M,(0,\ldots ,0,\overbrace {r} ^{m{\text{-th place}}},0,\ldots ,0)\mapsto rm$.

$f$ 是一個滿射態射，因此我們得到一個交換圖

;

也就是說，$f\circ h=\operatorname {Id} _{M}$.

我們斷言對映

$\varphi :M\oplus \ker f\to L,\varphi (m,k):=h(m)+k$

是一個同構。事實上，如果$h(m)+k=0$，則$f(h(m)+k)=f(h(m))=m=0$，因此也有$k=0$（單射性），並且進一步$\varphi ((rm,0))=(0,\ldots ,0,\overbrace {r} ^{m{\text{-th place}}},0,\ldots ,0)+k$，其中$k\in \ker f$，這就是為什麼

$\varphi ((rm,-k))=(0,\ldots ,0,\overbrace {r} ^{m{\text{-th place}}},0,\ldots ,0)=(0,\ldots ,0,\overbrace {r} ^{m{\text{-th place}}},0,\ldots ,0)$

（滿射性）。

$\Leftarrow$：假設$M\oplus L$是一個自由模。假設$f:N\twoheadrightarrow M$是一個滿射態射，並且令$g:K\to M$為任意態射。我們將$g$擴充套件到${\tilde {g}}:K\to M\oplus L$，透過

${\tilde {g}}(k):=(g(k),0)$.

由於線性對映 $g$ 和線性嵌入 $M\hookrightarrow M\oplus L$ 的合成，這仍然是線性的。現在 $M\oplus L$ 是射影的，因為它自由。因此，我們得到一個交換圖

其中 ${\tilde {h}}$ 滿足 $(f\times \operatorname {Id} _{L})\circ {\tilde {h}}={\tilde {g}}$。將 ${\tilde {h}}$ 投影到 $N$ 給出了 $M$ 的期望圖。$\Box$

定義 11.8:

模組的精確序列

$0\rightarrow K\rightarrow N\rightarrow M\rightarrow 0$

稱為 **分裂精確** 當且僅當我們可以用三個同構來增強它，使得

交換。

定理 11.9:

一個模組 $M$ 是射影的當且僅當每個精確序列

$0\rightarrow K\rightarrow N\rightarrow M\rightarrow 0$

是分裂精確的。

證明:

$\Rightarrow$: 態射 $N\rightarrow M$ 是滿射的，因此每個其他以 $M$ 為餘域的態射都提升到 $N$。特別是，投影 $\pi :K\oplus M\to M$ 也是如此。因此，我們得到一個交換圖

其中我們還不知道 $h$ 是否是同構，但我們可以使用 $h$ 來定義函式

${\tilde {h}}:K\otimes M\to N,{\tilde {h}}(k,m):=g(k)+h(0,m)$,

這是由於 *單射性* 而成為同構

設 ${\tilde {h}}(k,m)=0$，即 $h(0,m)+g(k)=0$。然後首先

$m=f(h(0,m))=f(h(0,m)+g(k))=f(0)=0$

因此其次

$g(k)=h(0,m)+g(k)=0\Rightarrow k=0$.

並且滿射

設 $n\in N$。設 $m:=f(n)$。那麼

$h(0,m)-n\in \ker f=\operatorname {im} h$

因此，對於合適的 $k\in K$，$g(k)=h(0,m)-n$，因此

$n={\tilde {h}}(-k,m)$.

因此我們得到交換圖

並且已經證明了我們想要證明的內容。

$\Leftarrow$：我們證明，對於合適的 $N$，$M\oplus N$ 是自由的。

我們設定

$K:=\bigoplus _{m\in M}R$，$f:K\to M$

其中，$f$ 的定義與定理 11.7 的證明相同 $\Rightarrow$。我們得到一個精確序列

$0\rightarrow \ker f{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}K{\overset {f}{\rightarrow }}M\rightarrow 0$

根據假設，該序列分裂為

這就是為什麼 $\ker f\oplus M$ 與自由模 $K$ 同構，因此本身也是自由模。 $\Box$

定理 11.10:

設 $M$ 和 $N$ 是射影 $R$-模。 那麼 $M\otimes N$ 是射影的。

證明:

我們選擇 $L,K$ $R$-模，使得 $M\oplus L$ 和 $N\oplus K$ 是自由模。 由於自由模的張量積是自由模，因此 $(M\oplus L)\otimes (N\oplus K)$ 是自由的。 但是

$(M\oplus L)\otimes (N\oplus K)\cong (M\otimes N)\oplus (M\otimes K)\oplus (L\otimes N)\oplus (L\otimes K)$,

因此 $M\otimes N$ 出現在自由模的直和項中，因此是射影的。 $\Box$

定理 11.11:

設 $M_{\alpha },\alpha \in A$ 是 $R$-模。 那麼 $\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$ 是射影的當且僅當每個 $M_{\alpha }$ 是射影的。

證明:

設每個 $M_{\alpha }$ 都是投射的。則每個 $M_{\alpha }$ 都是自由模的直和因子，將所有這些自由模加起來就證明了 $\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$ 是自由模的直和因子。

另一方面，如果 $\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$ 是自由模的因子，則所有 $M_{\alpha }$ 都是如此。 $\Box$

平坦模

以下是投射模的推廣

定義 11.12:

一個 $R$-模 $M$ 被稱為平坦的當且僅當用它進行張量積能保持精確性

$0\rightarrow N\rightarrow L\rightarrow K\rightarrow 0$ 是精確的蘊含 $0\rightarrow N\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M\rightarrow K\otimes _{R}M\rightarrow 0$ 是精確的。

右邊的序列中的態射由任何態射 $f$ 誘導，由雙線性對映給出

$(x,m)\mapsto f(x)\otimes m$.

定理 11.13:

模 $S^{-1}R$ 是一個平坦的 $R$-模。

證明：這來自定理 9.10 和 10.?。 $\Box$

定理 11.14:

平坦性是一個區域性性質。

證明：精確性是一個區域性性質。此外，對於任何乘法封閉的 $S\subseteq R$

$S^{-1}(M\otimes _{R}N)\cong S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N$

根據定理 9.11。由於每個 $S^{-1}R$-模都是一個 $R$-模的區域性化（例如，它本身作為一個 $R$-模透過 $rn=r/1n$），定理得證。$\Box$

定理 11.15:

射影模是平坦的。

證明:

我們首先證明每個自由模都是平坦的。這將使我們能夠證明每個射影模都是平坦的。

事實上，如果 $M$ 是一個自由模，並且 $\{e_{\alpha }\},\alpha \in A$ 是 $M$ 的基，我們有

$M\cong \bigoplus _{\alpha \in A}R$

透過

$\sum _{\alpha \in A}r_{\alpha }e_{\alpha }\mapsto (r_{\alpha })_{\alpha \in A}$,

其中左側除了有限個之外，其他所有求和項都是非零的。因此，如果我們給定任何精確序列

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$,

要證明序列

$0\rightarrow A\otimes M\rightarrow B\otimes M\rightarrow C\otimes M\rightarrow 0$

是精確的，我們只需要證明

$0\rightarrow A\otimes M\rightarrow B\otimes M\rightarrow C\otimes M\rightarrow 0$

是精確的，因為我們可以透過合適的同構來擴充套件後面的序列

定理 11.16:

直接和是平坦的當且僅當所有直和項都是平坦的

定理 11.17:

如果 $M,N$ 是平坦的 $R$-模，那麼 $M\otimes _{R}N$ 也是平坦的。

證明:

令

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$

為一個模的精確序列。

無扭模

以下是對平坦模的推廣

定義 11.18:

令 $M$ 為一個 $R$-模。$M$ 的**扭轉**定義為集合

$T(M):=\{m\in M|\exists r\in R:rm=0\}$.

引理 11.19:

模的扭轉是該模的一個子模。

證明:

設 $m,n\in T(M)$，$r\in R$。顯然 $m-n\in T(M)$（只需將兩個零化元素相乘即可），並且 $s(rm)=r(sm)=0$ 若 $sm=0$（這裡我們使用了交換性）。$\Box$

現在我們可以定義無扭模。它們正是你所認為的那樣。

定義 11.20:

設 $M$ 為一個模。 $M$ 稱為無扭模當且僅當

$T(M)=\{0\}$.

定理 11.21:

一個平坦模是無扭模。

為了更好地理解這個理論，我們定義一個乘法封閉子集 $S$ 的 $S$-扭。

定義 11.22:

設 $S\subseteq R$ 為環 $R$ 的一個乘法封閉子集，並設 $M$ 為一個 $R$-模。那麼 $M$ 的 $S$-扭 定義為

$T_{S}(M):=\{m\in M|\exists s\in S:sm=0\}$.

定理 11.23:

令 $S\subseteq R$ 是環 $R$ 的一個乘法封閉子集，令 $M$ 是一個 $R$-模。那麼 $S$-扭轉子 $M$ 正好是典範對映 $\pi _{S}:M\to S^{-1}M$ 的核。