交換代數/賦值環

增廣有序阿貝爾群

在本節中，出於很快就會變得明顯的理由，我們將阿貝爾群寫成乘法形式。

定義 18.1:

一個有序阿貝爾群是一個群$G$加上一個子集$T\subset G$使得

1. $T$在乘法下是封閉的（即$a,b\in T\Rightarrow ab\in T$）。
2. 如果$a\in T$，那麼$a^{-1}\notin T$。（這尤其意味著$1\notin T$。）
3. $G=T\cup \{1\}\cup T^{-1}$.

我們將有序阿貝爾群寫成對$(G,T)$.

最後兩個條件可以總結為：$G$是$T$，$\{1\}$和$T^{-1}$的不交併。

定理 18.2:

令有序群$(G,T)$給出。在$G$上定義一個序

$a<b:\Leftrightarrow ab^{-1}\in T$，$a\leq b:\Leftrightarrow a\leq b\vee a=b$.

那麼$<$具有以下性質

1. $<$是$G$的全序關係。
2. $<$ 與 $G$ 的乘法相容（即，$c\in G$ 且 $a\leq b$ 意味著 $ca\leq cb$）。

證明:

我們首先證明第一個斷言。

$\leq$ 是根據定義的自反的。它也是傳遞的：設 $a\leq b$ 且 $b\leq c$。當 $a=b$ 或 $b=c$ 時，斷言 $a\leq c$ 透過在給定方程中的任一方程中用 $b$ 替換得到。因此，假設 $ab^{-1}\in T$ 且 $bc^{-1}\in T$。然後 $(ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}\in T$，因此 $a\leq c$（甚至 $a<c$）。

令 $a\leq b$ 且 $b\leq a$。假設 $a\neq b$ 以得出矛盾。那麼 $ab^{-1}\in T$ 且 $ba^{-1}\in T$，由於 $T$ 在乘法下封閉，$1\in T$，矛盾。因此 $a=b$。

令 $a,b\in G$ 使得 $a\neq b$。由於 $G=T\cup \{1\}\cup T^{-1}$，$ab^{-1}$（不等於 $1$）要麼在 $T$ 中，要麼在 $T^{-1}$ 中（但不會同時出現在兩個集合中，因為如果 $ab^{-1}\in T^{-1}\Rightarrow (ab^{-1})^{-1}\in T$，並且由於 $ab^{-1}\in T$，$1\in T$，矛盾）。因此，要麼 $a<b$，要麼 $b<a$。

然後我們繼續進行第二個斷言。

設 $c\in G$。如果 $a=b$，則結論是顯然的。如果 $a<b$，則 $ab^{-1}\in T$，但 $ab^{-1}=acc^{-1}b^{-1}=ac(bc)^{-1}$。因此 $ac<bc$。$\Box$

定義 18.3:

設 $(G,T)$ 是一個有序阿貝爾群。一個 **增廣有序阿貝爾群** 是 $(G,T)$ 與一個元素 $0$（零）的組合，使得以下規則成立

$00=0$，$\forall g\in G:0g=0$.

我們將增廣有序阿貝爾群寫成三元組 $(G,T,0)$.

賦值與賦值環

定義 18.4:

設 $\mathbb {F}$ 是一個域，設 $(G,T,0)$ 是一個增廣有序阿貝爾群。域 $\mathbb {F}$ 的 **賦值** 是一個對映 $\varphi :\mathbb {F} \to G\cup \{0\}$，使得

1. $\varphi (x)=0\Leftrightarrow x=0$.
2. $\forall x,y\in \mathbb {F} :\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)$.
3. $\forall x,y\in \mathbb {F} :\varphi (x+y)\leq \max\{\varphi (x),\varphi (y)\}$.

定義 18.5:

一個 **賦值環** 是一個整環 $D$，使得存在一個增廣有序阿貝爾群 $(G,T,0)$ 和一個賦值 $\varphi :\operatorname {Quot} (D)\to G\cup \{0\}$ 滿足 $D=\{c\in \operatorname {Quot} (D)|\varphi (c)\leq 1\}$.

定理 18.6:

設 $R$ 是一個賦值環，且 $\operatorname {Quot} (R)$ 是它的分數域。則下列條件等價

1. $R$ 是一個賦值環。
2. $R$ 是一個整環，且 $R$ 的理想按集合包含關係線性排序。
3. $R$ 是一個整環，且對於每個 $c\in \operatorname {Quot} (R)$，要麼 $c\in R$，要麼 ${\frac {1}{c}}\in R$.

證明:

我們從 3. 開始。 $\Rightarrow$ 1.；假設 $R$

1. $\Rightarrow$ 2.: 設 $I,J\leq R$ 是任意兩個理想。假設存在 $a\in J\setminus I$。設任意元素 $b\in I$ 是給定的。

賦值環的性質

定理 18.8:

賦值環是一個區域性環。

證明:

估值環 $R$ 的理想按包含關係排序。令 $m:=\bigcup _{I\leq R \atop I\neq R}I$。我們斷言 $m$ 是 $R$ 的一個真理想。顯然 $1\notin m$，否則 $1\in I$ 對於 $R$ 的某個真理想 $I$ 成立。此外，${\displaystyle }$.

定理 18.9:

設 $R$ 是一個諾特環並且是一個估值環。那麼 $R$ 是一個主理想整環。

證明:

因為，設 $I\leq R$ 是一個理想；在任何諾特環中，理想都是有限生成的。因此，令 $I=\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$。考慮 $R$ 的理想 $\langle a_{1}\rangle ,\ldots ,\langle a_{n}\rangle$。在估值環中，理想是全序的，所以我們可以重新排列 $a_{j}$ 使得 $\langle a_{1}\rangle \subseteq \langle a_{2}\rangle \subseteq \cdots \subseteq \langle a_{n}\rangle$。那麼 $I=\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle =\langle a_{n}\rangle$.$\Box$