複變函式/附錄/證明/定理 1.1

我們證明一個集合 ${\mathfrak {G}}\subset \mathbb {C}$ 是閉合的當且僅當它包含所有其 極限點。

我們假設 ${\mathfrak {G}}$ 包含所有其極限點，並證明其補集是開集。令 $z_{0}\in \mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$。那麼，由於 $z_{0}$ 不是 ${\mathfrak {G}}$ 的極限點，存在一個球 $B_{\delta }(z_{0})$ 不包含 ${\mathfrak {G}}$ 的任何點，也就是說 $B_{\delta }(z_{0})\subset \mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$。由於這對所有 $z_{0}\in \mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$ 都成立，因此 ${\mathfrak {G}}$ 是閉合的。

我們現在假設 ${\mathfrak {G}}$ 在 $\mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$ 中存在一個極限點，並證明 ${\mathfrak {G}}$ 不是閉合的。令 $z_{0}\in \mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$ 是 ${\mathfrak {G}}$ 的一個極限點。那麼，不存在 $z_{0}$ 的任何鄰域包含在 ${\mathfrak {G}}$ 的補集中，因此 ${\mathfrak {G}}$ 不是閉合的。