複變函式/復可微、全純、柯西-黎曼方程

複平面上的開集

由於複數 $\mathbb {C}$ 不過是 $\mathbb {R} ^{2}$ 具有乘法結構，開集的概念從 $\mathbb {R} ^{2}$ 遷移到 $\mathbb {C}$。因此，我們認為一個集合 $O\subseteq \mathbb {C}$ 是開集當且僅當 $O$ 作為 $\mathbb {R} ^{2}$ 的子集是開集（即，在每個點 $z_{0}\in O$ 周圍存在一個以 $z_{0}$ 為中心的球體，該球體完全包含在 $O$ 中）關於歐幾里得範數（或任何其他範數，由於範數等價性）。

復可微性

回想一下，一個函式 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在 $x_{0}$ 處可微，當且僅當極限

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

存在，在這種情況下，導數 $f'(x_{0})$ 被定義為該極限的值。透過類比，我們可以推斷出類似的定義，用於函式 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

定義 2.1:

設 $O\subseteq \mathbb {C}$ 為開集，設 $f:O\to \mathbb {C}$ 為一個函式。設 $z_{0}\in O$。我們說 $f$ 在 $z_{0}$ 處 **復可微** 當且僅當

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$,

這裡 $h$ 是 複數，並且存在，在這種情況下，我們用 $f'(z_{0})$ 來簡化表示該極限。如果函式在其所有定義域（在本例中為 $O$）上處處復可微，我們說 $f$ 是 **全純函式**。

導數在以下意義上是線性的

定理 2.3:

由於複數是 $(x,y)$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的一個元組，對映 $f:O\to \mathbb {C}$ 等同於對映 $f:\mathbb {R} ^{2}\supset O\to \mathbb {R} ^{2}$。 $f$ 在某一點處的復可微性意味著它的實可微性，即方向導數存在。事實上，我們將在後面證明，在全純的情況下，甚至 $f$ 的連續可微性（即偏導數存在）也將隨之而來，因此，我們有一個雅可比矩陣，它等於 $f$ 的微分。但是，反過來不成立：如果 $f\in {\mathcal {C}}^{1}(O,\mathbb {R} ^{2})$ 在實數意義上（即，將 $f$ 視為一個對映 $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$：所有偏導數都存在且連續），我們還不知道 $f$ 是否全純。下一節將對此進行精確說明。

柯西-黎曼方程

如果 $f\in {\mathcal {C}}^{1}$ 在實數意義上，那麼存在一個精確的判據來判斷 $f$ 是否復可微。這就是所謂的 *柯西-黎曼方程*。

定理 2.3:

令 $f:O\to \mathbb {R} ^{2}$ 在 $(x_{0},y_{0})$ 處連續可微，即所有偏導數都存在且連續，且都存在於 $(x_{0},y_{0})$ 處。那麼 $f$ 作為 $O\to \mathbb {C}$ 的函式在 $z_{0}:=x_{0}+iy_{0}=(x_{0},y_{0})$ 處復可微當且僅當滿足 **柯西-黎曼方程**，由

${\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}$ 以及 ${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}$ 給出，

其中 $f=(f_{1},f_{2})=f_{1}+if_{2}$.

證明:

對於整個證明，需要注意的是，如果 $h=(h_{1},h_{2})$，則 $|h|=\|h\|=\|(h_{1},h_{2})\|$ 對於 $h\in \mathbb {C}$.

如果 $f$ 在 $z_{0}=(x_{0},y_{0})$ 處連續可微，則

$f(z_{0}+h)=f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(z_{0})+J_{f}(z_{0})h+r(h)$, $r(h)\in o(\|h\|)$,

其中 $r(h)\in o(\|h\|)$ 表示 $\lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{\|h\|}}=0$。因此，在這種情況下，

${\begin{aligned}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}&={\frac {J_{f}(z_{0})h+r(h)}{h}}\\&={\frac {h_{1}-ih_{2}}{|h|^{2}}}J_{f}(z_{0})h+{\frac {r(h)}{h}}\\&={\frac {h_{1}-ih_{2}}{\|h\|^{2}}}{\begin{pmatrix}\partial _{x}f_{1}&\partial _{y}f_{1}\\\partial _{x}f_{2}&\partial _{y}f_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {r(h)}{h}}\\&={\frac {h_{1}(h_{1}\partial _{x}f_{1}+h_{2}\partial _{y}f_{1})+h_{2}(h_{1}\partial _{x}f_{2}+h_{2}\partial _{y}f_{2})+i\left[h_{1}(h_{1}\partial _{x}f_{2}+h_{2}\partial _{y}f_{2})-h_{2}(h_{1}\partial _{x}f_{1}+h_{2}\partial _{y}f_{1})\right]}{\|h\|^{2}}}+{\frac {r(h)}{h}}.\end{aligned}}$

如果柯西-黎曼方程成立，我們可以用 $\partial _{x}f_{1}$ 替換 $\partial _{y}f_{2}$，並用 $-\partial _{y}f_{1}$ 替換 $\partial _{x}f_{2}$ 在後一個表示式中，得到

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\partial _{x}f_{1}-i\partial _{y}f_{1}$

(從而我們也得到了復導數的另一個公式)。另一方面，如果極限

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$

存在，那麼我們特別可以自由地選擇 $h=(h_{1},0)$ 對於實數正數 $h_{1}>0$ 得到

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\lim _{|h|\to 0}{\frac {h_{1}(h_{1}\partial _{x}f_{1})+ih_{1}(h_{1}\partial _{x}f_{2})}{\|h\|^{2}}}=\partial _{x}f_{1}+i\partial _{x}f_{2}$

類似地，$h=(0,h_{2})$ 對於實數正數 $h_{2}>0$ 得到

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\lim _{|h|\to 0}{\frac {h_{2}(h_{2}\partial _{y}f_{2})-ih_{2}(h_{2}\partial _{y}f_{1})}{\|h\|^{2}}}=\partial _{y}f_{2}-i\partial _{y}f_{1}$

因此，滿足柯西-黎曼方程。 $\Box$

復導數法則

對於通常的實數導數，存在一些規則，例如乘積法則、鏈式法則、商法則和逆法則。幸運的是，這些規則可以逐字應用於複數導數，甚至證明也保持一致（儘管為了完整性，我們將重複它們）。

定理 2.4（鏈式法則）:

令 $f:O\to \mathbb {C}$ 在 $z_{0}$ 處復可微，並令 $g:U\to \mathbb {C}$ 在 $f(z_{0})$ 處復可微（這意味著 $f(z_{0})$ 必須在 $U$ 內）。那麼 $g\circ f$ 在 $z_{0}$ 處復可微，並且

$(g\circ f)'(z_{0})=g'(f(z_{0}))f'(z_{0})$.

證明:

設定

$Q(w):={\begin{cases}{\frac {(g\circ f)(w)-(g\circ f)(z_{0})}{f(w)-f(z_{0})}}&f(w)\neq f(z_{0})\\g'(f(z_{0}))&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

那麼

$\lim _{h\to 0}{\frac {(g\circ f)(z_{0}+h)-(g\circ f)(z_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}Q(z_{0}+h){\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=g'(f(z_{0}))f'(z_{0})$

根據$f$在$z_{0}$處的連續性（可以透過將復微分的極限定義乘以$h$並觀察到極限由極限的乘法性等於$0$來輕鬆證明）。$\Box$

定理 2.5（乘積法則）:

令$f,g:O\to \mathbb {C}$ 是在$z_{0}$處復微分的複函式。那麼乘積函式$fg:z\mapsto f(z)g(z)$ 在$z_{0}$處復微分，並且

$(fg)'(z_{0})=f(z_{0})g'(z_{0})+g(z_{0})f'(z_{0})$.

證明:

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)g(z_{0}+h)-f(z_{0})g(z_{0})}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)g(z_{0}+h)-f(z_{0})g(z_{0}+h)+f(z_{0})g(z_{0}+h)-f(z_{0})g(z_{0})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}g(z_{0}+h){\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}+f(z_{0})g'(z_{0}).\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.6（商法則）:

假設 $f,g:O\to \mathbb {C}$ 在 $z_{0}$ 處復可微，且 $g(z_{0})\neq 0$。根據 $g$ 的連續性，函式 ${\frac {f}{g}}$ 在 $z_{0}$ 附近的小球上存在。那麼它在 $z_{0}$ 處復可微，導數等於

$\left({\frac {f}{g}}\right)'(z_{0})={\frac {f'(z_{0})g(z_{0})-f(z_{0})g'(z_{0})}{g(z_{0})^{2}}}$.

證明:

函式$\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} \setminus \{0\},z\mapsto {\frac {1}{z}}$的導數由$z\mapsto -{\frac {1}{z^{2}}}$給出；因為

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{-1}-z^{-1}}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {}{}}\end{aligned}}$

因此，乘積法則和鏈式法則暗示

${\begin{aligned}\left({\frac {f}{g}}\right)'(z_{0})&=\left(f{\frac {1}{g}}\right)'(z_{0})\\&=f'(z_{0}){\frac {1}{g(z_{0})}}+f(z_{0})\left({\frac {1}{g}}\right)'(z_{0})\\&=f'(z_{0}){\frac {1}{g(z_{0})}}-f(z_{0}){\frac {1}{g(z_{0})^{2}}}g'(z_{0}).\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.7（反函式法則）:

假設$f:O\to O$是一個在$z_{0}$處復可微的雙射函式。那麼$f^{-1}$在$f(z_{0})$處復可微，並且

${\displaystyle }$.

證明:

多項式的導數

定理 2.8:

令 $n\in \mathbb {N}$. 則在任何 $z\in \mathbb {C}$ 處，$f(z)=z^{n}$ 的導數為：

$f'(z)=nz^{n-1}$.

證明:

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{k}h^{n-k}-z^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {z^{n}-z^{n}+hnz^{n-1}+\sum _{k=0}^{n-2}{\binom {n}{k}}z^{k}h^{n-k}}{h}}=nz^{n-1}\end{aligned}}$

根據二項式定理。 $\Box$

由於復導數的線性性，我們現在可以計算任何多項式的復導數，即使它具有復係數。

$p(z)=a_{n}z^{n}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\Rightarrow p'(z)=na_{n}z^{n-1}+\cdots +2a_{2}z+a_{1}$.

練習

1. 計算多項式 $p(z)=5z^{4}+2z+3\cdot 10^{20}$ 的復導數。