複分析/複數

複數域

歷史上，人們觀察到方程 $x^{2}=-1$ 對實數 $x$ 來說沒有解（因為 $x^{2}\geq 0$ 對所有 $x\in \mathbb {R}$ 都成立）。由於數學家希望解決這個方程，他們定義了一個稱為虛數單位的數 $i$，使得 $i^{2}=-1$。當然，不存在這樣的數。但如果我們將二元組 $(a,b)$ 寫成 $a+ib$，其中 $a,b\in \mathbb {R}$，並使用計算規則 $i^{2}=-1$ 對這些二元組進行計算，也就是說，

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$ 以及 $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$

(其中我們已經將一個二元組寫成 $(x,y)$ 的形式，$x+iy$，我們將在本書中一直使用這種形式)，那麼所有具有這種加法和乘法的二元組的集合構成一個域。實際上，可交換環的必要公理很容易驗證，並且 $x+iy$ 的逆元，$x$ 和 $y$ 不全為零，由下式給出

$(x+iy)^{-1}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}$,

可以透過直接計算來驗證。

定義 1.1:

複數是一個實數的二元組 $(a,b)$，寫成 $a+ib$，其中 $a$ 稱為該數的實部，$b$ 稱為虛部。複數域，記為 $\mathbb {C}$，是所有此類數的集合，以及加法

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$

和乘法

$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$.

絕對值，共軛

對於每個複數，我們可以如下定義其絕對值：複數 $z=x+iy$ ($x,y\in \mathbb {R}$) 實際上是一個二元組 $(x,y)$，因此它也是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的元素。現在在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，我們有歐幾里得絕對值，即

$\|(x,y)\|_{2}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$,

因此，我們只需要定義

定義 1.2:

複數 $z=x+iy\in \mathbb {C}$ 的絕對值定義為

$|z|:={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

需要注意的是，複數的絕對值的絕對值始終是實數，因為根函式將 $\mathbb {R} _{\geq 0}$ 中的任何元素對映到 $\mathbb {R}$ （實際上是對映到 $\mathbb {R} _{\geq 0}$）。

對於每個複數 $z=x+iy$ ($x,y\in \mathbb {R}$)，我們還定義了一個不同的量，它是將 $z$ 沿第一軸反射得到的

定義 1.3:

給定一個複數 $z=x+iy\in \mathbb {C}$。則 $z$ 的 **共軛複數**，記為 ${\overline {z}}$，定義為

${\overline {z}}:=x-iy$.

也就是說，第二個分量改變了符號；如果用精確的術語來說，$z=(x,y)$，那麼${\overline {z}}=(x,-y)$.

我們觀察到

定理 1.4:

令兩個複數$z=x+iy,w=a+ib\in \mathbb {C}$ 給定。那麼

${\overline {zw}}={\overline {z}}{\overline {w}}$.

證明:

${\overline {zw}}={\overline {xa-yb+i(xb+ya)}}=xa-yb-i(xb+ya)$

並且

${\overline {z}}{\overline {w}}=(x-iy)(a-ib)=ax-yb-i(xb+ya)$.$\Box$

用這個符號，我們可以用$z$ 來寫一個複數$z=x+iy$ 的絕對值，而不必參考$x$ 或 $y$

定理 1.5:

令複數$z=x+iy\in \mathbb {C}$ 給定。那麼

$|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$.

這裡並置表示乘法，如通常一樣（儘管在本例中為複數乘法）。

證明:

${\sqrt {z{\overline {z}}}}={\sqrt {(x+iy)(x-iy)}}={\sqrt {x^{2}-(iy)^{2}}}={\sqrt {x^{2}-i^{2}y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=|z|$.$\Box$

由此可知，絕對值具有以下重要性質：

推論 1.6:

設 $z,w\in \mathbb {C}$ 是複數。那麼

$|zw|=|z||w|$.

證明:

$|zw|={\sqrt {zw{\overline {zw}}}}={\sqrt {zw{\overline {z}}{\overline {w}}}}={\sqrt {z{\overline {z}}}}{\sqrt {w{\overline {w}}}}=|z||w|$

根據定理 1.4 和 1.5。注意平方根中的引數始終是實數。$\Box$

複平面

由於每個複數實際上都是一個二元組 $(x,y)$，$x,y\in \mathbb {R}$，所有複數 $x+iy$ 的集合可以被視覺化為平面，其中 $x$ 是第一個座標，$y$ 是第二個座標。下圖展示了這種情形

水平軸（或 $x$ 軸）表示實部，而垂直軸（或 $y$ 軸）表示虛部。

練習

1. 計算以下複數的絕對值：$3+4i$，$3+2i$，$1+{\frac {1}{2}}i$.
2. 假設$m$和$n$是自然數，可以寫成兩個自然數的平方和：$m=a^{2}+b^{2}$和$n=c^{2}+d^{2}$，對於某些$a,b,c,d\in \mathbb {N}$。證明乘積$m\cdot n$也可以寫成兩個平方的和。提示：代入$a^{2}+b^{2}=|a+ib|^{2}$（以及類似的$c,d$），並使用複數的計算規則。
3. 證明以下將複數乘法與$\mathbb {R} ^{2}$的標準標量積聯絡起來的關係：$\langle (a,b),(x,y)\rangle =\operatorname {Re} \left[(a-ib)(x+iy)\right]$.
4. 本練習介紹了代數中的核心概念。熟悉代數中域的概念。如果$\mathbb {F}$是一個域，那麼子域$\mathbb {E} \subseteq \mathbb {F}$被定義為$\mathbb {F}$的一個子集，該子集在從$\mathbb {F}$繼承的加法、乘法、減法和除法運算下封閉，並且包含元素$0$和$1$（即$\mathbb {F}$的加法和乘法的中性元素）。證明
   1. 設 $(\mathbb {E} _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是域 $\mathbb {F}$ 的子域族。證明交集 $\bigcap _{\alpha \in A}\mathbb {E} _{\alpha }$ 也是 $\mathbb {F}$ 的子域。
   2. 熟悉偏序集的概念，並證明給定域 $\mathbb {F}$ 的子域集透過包含關係（即 $\mathbb {E} \leq \mathbb {E} ':\Leftrightarrow \mathbb {E} \subseteq \mathbb {E} '$）是偏序的。證明關於該順序，任何子域族 $(\mathbb {E} _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 都有一個最大下界。
   3. 證明域 $\mathbb {F}$ 具有最小的子域，稱為素域，並確定 $\mathbb {C}$ 的素域。