複分析/輪廓積分

實區間上覆值函式的積分

在微積分中，我們學習瞭如何積分（例如，連續）函式 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在有限區間 $[a,b]$ 上。現在如果我們要積分的函式 $f$ 的值在複數中（即 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$）？答案很簡單。我們用公式 $f(x)=\operatorname {Re} f(x)+i\operatorname {Im} f(x)$ 來分解 $f$，並將積分定義如下

定義 4.1:

令 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ 是連續的復值函式（或者，換句話說，$\operatorname {Re} f(x)$ 和 $\operatorname {Im} f(x)$ 都可積）。那麼我們設定

$\int _{a}^{b}f(x)dx:=\int _{a}^{b}\operatorname {Re} f(x)dx+i\int _{a}^{b}\operatorname {Im} f(x)dx$.

輪廓積分背後的想法

在本章中，給定一個函式 $f:O\to \mathbb {C}$，我們想要沿著可微曲線積分 $f$；粗略地說，我們想要確定當曲線像下面動畫所示的那樣展平時，曲線下方圖形面積的度量。

我們現在想要弄清楚哪個公式可以用來獲得這個度量（注意，就像在普通積分中一樣，我們希望函式為負的部分從積分的值中減去，而不是加到它上面）。這個想法是近似我們想要的積分。令可微曲線 $\gamma :[0,1]\to O$ 為給定。我們選擇一個特定的分解

$[0,1]=[0=t_{0},t_{1}]\cup [t_{1},t_{2}]\cup \cdots \cup [t_{n-1},t_{n}=1]$

其中$t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}$。然後我們用一個有限和來近似我們需要的積分，我們記作$\int _{\gamma }f(z)dz$，如下所示

$\int _{\gamma }f(z)dz\approx \sum _{j=0}^{n-1}(\gamma (t_{j})-\gamma (t_{j+1}))f(\gamma (t_{j}))$.

這個和式是將許多小的矩形相加，這些矩形近似地代表了積分，就像黎曼和一樣。當連續$t_{j}$之間的最大距離越來越小時，我們就得到了越來越好的近似值。另一方面，

$\sum _{j=0}^{n-1}(\gamma (t_{j})-\gamma (t_{j+1}))f(\gamma (t_{j}))=\sum _{j=0}^{n-1}f(\gamma (t_{j}))\int _{t_{j}}^{t_{j+1}}\gamma '(t)dt$,

其中後面的積分收斂於

$\int _{0}^{1}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt$

當$n\to \infty$。這就是我們定義的原因

定義 4.2:

令${\mathcal {C}}^{1}$（在實數意義上）曲線$\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$（我們也稱之為 **輪廓**）給出。然後我們定義$f$沿著輪廓$\gamma$的積分為

$\int _{\gamma }f(z)dz:=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt$.

實際上，在討論迴圈（第 10 章）和相關內容之前，我們需要一個更一般的、但並不難多少的輪廓積分定義，即一個對分段 ${\mathcal {C}}^{1}$ 曲線也成立的定義。

定義 4.3:

一個函式 $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ 被稱為分段 ${\mathcal {C}}^{1}$ 輪廓當且僅當存在分解 $[a,b]=[t_{0},t_{1}]\cup [t_{1},t_{2}]\cup \cdots \cup [t_{n-1},t_{n}]$, $a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b$ 使得對於所有 $j\in \{0,\ldots ,n-1\}$ 限制

$\gamma \upharpoonright _{[t_{j},t_{j+1}]}$

是 ${\mathcal {C}}^{1}$.

輪廓積分的規則

在本節中，我們陳述並證明一些對輪廓積分成立的公式，這些公式將在後續章節中被廣泛使用。

定理 4.4:

假設 $f:O\to \mathbb {C}$ 有一個原函式，即一個函式 $F:O\to \mathbb {C}$ 使得 $F$ 是全純的，且對於所有 $z\in O$ 有 $F'(z)=f(z)$。那麼對於所有分段 ${\mathcal {C}}^{1}$ 閉曲線 $\gamma :[a,b]\to O$，我們有

$\int _{\gamma }f(z)dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))$.

定理 4.5:

輪廓積分是線性的，也就是說對於全純函式 $f,g:O\to \mathbb {C}$，$\lambda \in \mathbb {C}$ 和分段 ${\mathcal {C}}^{1}$ 閉曲線 $\gamma :[a,b]\to O$，我們有

$\int _{\gamma }(f(z)+\lambda g(z))dz=\int _{\gamma }f(z)dz+\lambda \int _{\gamma }g(z)dz$.