複分析/曲線和輪廓積分

復積分

定義 4.1:

令 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 是一個測度空間（即，$\Omega$ 是一個集合，${\mathcal {F}}$ 是一個 $\sigma$-代數，$\mu$ 是 ${\mathcal {F}}$ 中集合的測度），並令 $f:\Omega \to \mathbb {C}$ 是一個復值函式。我們寫作 $f(z)=u(z)+iv(z)$，其中 $u$ 和 $v$ 是函式 $\Omega \to \mathbb {R}$（即，$\Omega$ 上的實值函式）。我們假設 $u$ 和 $v$ 都是可積的。然後我們定義（對於可測量的 $E\subset \Omega$）

$\int _{E}f(z)dz:=\int _{E}u(x)dx+i\int _{E}v(x)dx$

現在對於取值為 $\mathbb {R}$ 的函式的積分，我們有像富比尼定理或支配收斂定理之類的定理。我們將能夠以一種簡單的方式將它們應用到複數情況。

定理 4.2:

令 $f:\Omega \to \mathbb {C}$ 是一個複函式。那麼

$\int _{E}f(z)dz$

存在當且僅當（實）積分存在

$\int _{E}|f(z)|dz$

存在。

證明:

首先假設

$\int _{E}|f(z)|dz$

存在。 由於 $|x+iy|\geq |x|$ 且 $|y|$ 對於實數 $x,y\in \mathbb {R}$ 成立，因此這兩個積分

$\int _{E}|u(x)|dx$ 和 $\int _{E}|v(x)|dx$

存在，因此根據定義，積分

$\int _{E}f(z)dz$.

現在假設

$\int _{E}f(z)dz$

存在。 這意味著

$\int _{E}u(x)dx$ 和 $\int _{E}v(x)dx$

因此

$\int _{E}|u(x)|dx$ 和 $\int _{E}|v(x)|dx$

存在，積分

$\int _{E}\left(|u(z)|+|v(z)|\right)dz$,

也存在，只需將這兩個積分相加即可。（注意，我們可以任意命名積分變數。） 但是，由三角不等式可知， $|f(z)|\leq |u(z)|+|v(z)|$，因此積分

$\int _{E}|f(z)|dz$

存在。 $\Box$

定理 4.3（富比尼）:

設 $E\subset \Omega$ 可測（即 $E\in {\mathcal {F}}$） 且設 $(\Omega ',{\mathcal {F}}',\mu ')$ 為另一個測度空間。 此外，如果 $F\subset \Omega '$ 可測，則對於 $f:E\times F\to \mathbb {C}$，我們有

$\int _{E}\int _{F}f(z,w)dwdz=\int _{E\times F}f(z,w)d(z,w)=\int _{F}\int _{E}f(z,w)dzdw$,

假設三個積分中的一個

$\int _{E}\int _{F}|f(z,w)|dwdz$, $\int _{E\times F}|f(z,w)|d(z,w)$, $\int _{F}\int _{E}|f(z,w)|dzdw$

具有有限值。

定理 4.4（支配收斂定理）:

假設 $f_{n}:\Omega \to \mathbb {C}$ 是一個復值函式序列，它逐點收斂到函式 $f:\Omega \to \mathbb {C}$，則如果存在函式 $g:\Omega \to \mathbb {R}$ 使得 $\forall \omega \in \Omega :\forall n\in \mathbb {N} :|g(\omega )|>|f_{n}(\omega )|$ 並且還有 $\forall \omega \in \Omega :|f(\omega )|<|g(\omega )|$，那麼我們有

$\int _{\Omega }f_{n}(\omega )d\mu (\omega )\to \int _{\Omega }f(\omega )d\mu (\omega )$

當 $n\to \infty$ 時。（使用這種測度理論符號可能更合適。）

關於將測度理論中關於函式 $\Omega \to \mathbb {R}$ 的定理推廣到函式 $\Omega \to \mathbb {C}$ 的一個例外是單調收斂定理，因為它依賴於實數的序結構。我想到的唯一可以做到這一點的方法是，給定函式序列的實部和虛部以單調的方式收斂的情況。這將留作練習。

曲線、路徑和輪廓

令 $I\subseteq \mathbb {R}$ 為一個有界閉區間（即，存在兩個實數 $a,b\in \mathbb {R}$，$a<b$，使得 $I=[a,b]$，$I=[a,b)$，$I=(a,b]$ 或 $I=(a,b)$）。

在 ${\mathcal {C}}$ 中，曲線僅僅是一個連續函式 $\gamma :I\to \mathbb {C}$。路徑則是一條曲線，其中區間是單位區間 $[0,1]$。被稱為路徑是因為當 $x$ 在區間 $[0,1]$ 上移動時，相應的點 $\gamma (x)$ 將會沿著複平面移動，並從點 $\gamma (0)\in \mathbb {C}$ 到點 $\gamma (1)\in \mathbb {C}$ 走出一條“路徑”。

輪廓 是曲線（但不一定是路徑），它具有分段光滑的性質。也就是說，對映$\gamma :I\to \mathbb {C}$ 是一個輪廓當且僅當我們有實數$x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ 使得$a=x_{1}<\ldots <x_{n}=b$ 並且限制$\gamma |_{(x_{j-1},x_{j})}$（其中$j=1,\ldots ,n$）是光滑的。

我們在這本書中使用的曲線將都是輪廓，儘管光滑性 的假設有點過頭；事實上，可微性就足夠了。但大多數實際應用中出現的曲線都是光滑的，而且輪廓的定義現在已經很標準了，不能因為一本書的定義不同而改變，迫使我使用通用的定義（因為如果我不這樣做，我要麼必須重新定義它，這會造成與其他文字的不一致，要麼我必須發明一個新詞，但這樣，只需要一個定理的讀者就不知道它是什麼，而從這本書學習複分析的人將不熟悉輪廓的常用概念）。

曲線積分

我們現在想要找到一種方法來計算以下動畫中所表示的內容

也就是說，我們有一條曲線和一個連續函式，沿著曲線計算函式的值，形成由曲線和函式在該點處的函式值圍成的曲面，將曲面熨在一起，然後我們想要得到面積。

我們的策略是這樣的：我們將用分段線性曲線來近似曲線（我們稱之為$\gamma$，儘管在圖中它被稱為$C$），並將分段線性曲線的片段變得越來越小，以便在極限情況下得到原始曲線。但是，在分段線性曲線的特殊情況下，我們將能夠計算上面描述的曲面的面積。然後我們將取這個過程的極限，並將它定義為我們想要的面積。請注意，這個過程需要曲線是可微的，並且函式是連續的。

事實上，我們將假設$\gamma$ 的定義域是$[0,1]$；對於其他區間邊界，構造將是完全類似的。

弧長引數化

輪廓積分

用分段線性曲線近似，關於引數化的定理，計算規則