複分析/極值原理、開對映定理、施瓦茲引理

我們繼續探索證明全純函式的一般性質，這次我們有了更好的準備，因為我們已經掌握了上一章的定理。

極值原理

在某些情況下，全純函式在其邊界上取最大值或最小值。在精確描述這一點之前，我們需要一個準備性的引理。

引理 8.1:

設 $f:B_{r}(z_{0})\to \mathbb {C}$ 是一個全純函式，其中 $r>0$ 且 $z_{0}\in \mathbb {C}$ 是任意的，並且假設它甚至滿足 $|f(z)|=\alpha$ 對於一個常數 $\alpha >0$。那麼 $f$ 本身是一個常數函式。

證明:

如果在 $B_{r}(z_{0})$ 中 $|f(z)|=0$，我們可以得出結論 $f(z)=0$ 在 $B_{r}(z_{0})$ 中，我們就完成了。否則，我們繼續如下操作

如果 $|f(z)|$ 是常數，那麼 $|f(z)|^{2}$ 也是常數。我們寫 $f=f_{1}+if_{2}$。那麼 $\alpha ^{2}=|f(z)|^{2}=f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2}$ 對於所有 $z\in B_{r}(z_{0})$。因此，取偏導數，我們得到

$\partial _{x}|f(z)|^{2}=f_{1}(z)\partial _{x}f_{1}(z)+f_{2}(z)\partial _{x}f_{2}(z)=0$ 以及 $\partial _{y}|f(z)|^{2}=f_{1}(z)\partial _{y}f_{1}(z)+f_{2}(z)\partial _{y}f_{2}(z)=0$.

根據柯西-黎曼方程，我們可以進一步推斷

$f_{1}(z)\partial _{x}f_{1}(z)-f_{2}(z)\partial _{y}f_{1}(z)=0$ 以及 $f_{1}(z)\partial _{y}f_{1}(z)+f_{2}(z)\partial _{x}f_{1}(z)=0$,

由此可以得到（經過一些代數運算後）

$(f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2})\partial _{x}f_{1}(z)=0$, $(f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2})\partial _{y}f_{1}(z)=0$, $(f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2})\partial _{x}f_{2}(z)=0$ 以及 $(f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2})\partial _{y}f_{2}(z)=0$,

也就是說 $\partial _{x}f_{1}\equiv \partial _{y}f_{1}\equiv \partial _{x}f_{2}\equiv \partial _{y}f_{2}\equiv 0$.$\Box$

現在我們準備以以下兩個定理的形式闡明極值原理。

定理 8.2（最大值原理）:

令 $f:S\to \mathbb {C}$ 是在 $S$ 內部全純的函式。如果 $z_{M}\in O$ 使得

$f(z_{M})=\max _{z\in O}|f(z)|$,

那麼要麼 $z_{M}\in \partial S$，要麼 $f$ 在 $z_{M}$ 的連通分量上為常數。

證明:

假設 $z_{M}\notin \partial S$，也就是說，$z_{M}\in {\overset {\circ }{S}}$。令 $\epsilon >0$ 為任意滿足 ${\overline {B_{\epsilon }(z_{m})}}\subseteq {\overset {\circ }{S}}$ 的數。那麼柯西積分公式表明

$f(z_{M})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\epsilon }(z_{M})}{\frac {f(z)}{z-z_{M}}}dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{M}+\epsilon e^{i\varphi })d\varphi$.

如果現在對於某個 $z\in \partial B_{\epsilon }(z_{M})$，那麼由 $f$ 的連續性，$|f(z)|<|f(z_{M})|$

$\left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{M}+\epsilon e^{i\varphi })d\varphi \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(z_{M}+\epsilon e^{i\varphi })|d\varphi <|f(z_{M})|$,

矛盾。因此，在整個 $|z|=\epsilon$ 上，$|f(z)|=|f(z_{M})|$，並且由於 $\epsilon$ 是任意的（只要 ${\overline {B_{\epsilon }(z_{m})}}\subseteq {\overset {\circ }{S}}$），$|f(z)|=|f(z_{M})|$ 在 $z_{M}$ 周圍的一個小球內。根據引理 8.1，可知 $f$ 在那裡是常數，因此恆等定理意味著 $f$ 在包含 $z_{M}$ 的整個連通分量上是常數。$\Box$

類似地，我們有

定理 8.3（最小值原理）:

令 $f:S\to \mathbb {C}$ 是在 $S$ 內部全純的函式。如果 $z_{M}\in O$ 使得

$f(z_{m})=\min _{z\in O}|f(z)|$,

那麼，會發生以下三種情況之一：

1. $z_{m}\in \partial S$,
2. $f$ 在 $z_{m}$ 的連通分量上是常數，或者
3. $f$ 在 ${\overset {\circ }{S}}$ 內有一個零點。

證明:

如果 $f$ 在 ${\overset {\circ }{S}}$ 內沒有零點，鏈式法則意味著函式

$z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}$

在 ${\overset {\circ }{S}}$ 內是全純的。因此，最大值原理適用，並且要麼 $z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}$ 在內部沒有最大值（因此 $f$ 在內部沒有最小值），或者 $z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}$ 是常數（因此 $f$ 也是常數）。$\Box$

開對映定理

定理 8.4（開對映定理）

設 $f:O\to \mathbb {C}$ 為一個全純函式。如果 $U\subseteq O$ 是一個開集，則 $f(U)$ 也是開集。

也就是說，用拓撲學家的說法，$f$ 是一個開對映。

證明:

設 $z_{0}\in U$。我們證明存在一個以 $f(z_{0})$ 為中心的球，它包含在 $f(U)$ 中。為此，我們選擇（由於 $U$ 的開放性）一個 $\delta >0$ 使得 ${\overline {B_{\delta }(z_{0})}}\subseteq U$ 並且此外 $f(w)\neq f(z_{0})$ 在 ${\overline {B_{\delta }(z_{0})}}\setminus \{z_{0}\}$ 上（根據恆等定理）並設

$\epsilon :={\frac {1}{3}}\min _{z\in \partial B_{\delta }(z_{0})}|f(z)-f(z_{0})|$;

由於 $\partial B_{\delta }(z_{0})$ 是緊緻的，$f$ 在這裡取最小值，並且根據 $\delta$ 的選擇，該最小值不等於零，這就是為什麼 $\epsilon >0$。現在，對於每個 $w\in B_{\epsilon }(f(z_{0}))$，我們定義函式

${\overline {B_{\delta }(z_{0})}}\to \mathbb {C} ,z\mapsto f(z)-w$.

在 $z_{0}$，此函式的絕對值小於 $\epsilon$，根據 $w$ 的選擇。然而，對於 $z\in \partial B_{\delta }(z_{0})$，我們有

$|f(z)-w|\geq |f(z)|-|w|>\epsilon$.

因此，最小原理意味著函式${\overline {B_{\delta }(z_{0})}}\to \mathbb {C} ,z\mapsto f(z)-w$ 在 $B_{\delta }(z_{0})$ 中有一個零點，這證明了（由於 $w\in B_{\epsilon }(f(z_{0}))$ 是任意的） $f$ 在 $B_{\epsilon }(f(z_{0}))$ 中取所有值。$\Box$

施瓦茨引理

定理 8.5（施瓦茨引理）

令 $f:B_{1}(0)\to \mathbb {C}$ 為一個全純函式，使得

1. $\forall z\in {\overline {B_{1}(0)}}:|f(z)|\leq 1$ 並且
2. $f(0)=0$.

然後，$\forall z\in B_{1}(0):|f(z)|\leq |z|$， 此外，如果 $|f'(0)|=1$ 或 $|f(z)|=|z|$ 對於某個特定的 $z\in B_{1}(0)\setminus 0$，那麼我們可以找到一個 $\lambda \in \mathbb {C}$ 使得 $f(z)=\lambda z$。

證明:

首先，我們考慮以下函式

$g(z):={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}&z\neq 0\\f'(0)&z=0\end{cases}}$.

由於該對映是有界的、連續的，並且除了在 $0$ 以外的所有地方都全純，所以根據黎曼定理，它甚至在 $0$ 處也是全純的（在 $0$ 處的擴充套件必須是唯一的，這樣才能滿足連續性）。此外，我們有

$|f(z)|\leq 1\Rightarrow |g(z)|\leq {\frac {1}{|z|}}$

假設對於所有 $z\in B_{1}(0)$ 成立；特別地，如果 $|z|=r$，那麼 $|g(z)|\leq 1/r$，因此，根據最大值原理，$|g(z)|\leq 1/r$ 也適用於 $|z|<r$。取 $r\to 1$ 得 $|g(z)|<1$ 在 $B_{1}(0)$ 中成立，因此對於 $z\in B_{1}(0)$ 有 $|f(z)|\leq |z|$。

對於第二部分，如果$|f'(0)|=1$ 或 $|f(z)|=|z|$ 對於一個 $z\in B_{1}(0)\setminus 0$，則$|g(z)|=1$ 在 $B_{1}(0)$ 內部，因此，根據最大值原理，$g$ 必須是常數，由此得出 $f(z)=f'(0)z$，也就是說，我們可以選擇 $\lambda =f'(0)$.$\Box$