複分析/全純函式的全域性理論

定理（劉維爾定理）:

設 $X$ 是一個巴拿赫空間，設 $f:\mathbb {C} ^{n}\to X$ 是一個整函式。如果存在自然數 $n\in \mathbb {N}$ 和兩個常數 $M,R>0$ 使得

$\forall z\in \mathbb {C} \setminus B_{R}(0):\|f(z)\|<M|z^{n}|$,

則 $f$ 是一個次數小於或等於 $n$ 的多項式。

證明 1: 首先注意到

$\lim _{w\to \infty }{\frac {|z-w|}{|w|}}=1$.

設 $z\in \mathbb {C}$ 且 $r>\max\{R,|z|\}$。那麼柯西積分公式和積分的三角不等式一起意味著

$|f^{(n+1)}(z)|\leq {\frac {1}{2\pi n!}}\int _{\partial B_{r}(0)}{\frac {\|f(w)\|}{|w-z|^{n+2}}}dw\leq {\frac {C}{2\pi n!}}\int _{\partial B_{r}(0)}{\frac {1}{r^{2}}}dz$

對於某個 $C>0$。後面的表示式可以顯式計算；它等於

${\frac {C}{n!r}}$,

當 $r\to \infty$ 時，它趨於零。因此，$f^{(n+1)}$ 消失，而 $f$ 是一個度數為 $\leq n$ 的多項式。 $\Box$

定理（恆等定理）:

令 $X$ 為一個巴拿赫空間，令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 為開且連通的集合，令 $z_{0}\in U$ 並且令 $f,g:U\to X$ 為 $U$ 上的兩個全純函式，使得集合 $\{z\in U|f(z)=g(z)\}$ 在 $z_{0}\in U$ 處有一個聚點。那麼 $f=g$。

證明：令 $w_{0}\in U$ 為任意一點。由於全純函式是解析的，因此函式 $f-g$ 具有冪級數展開

$(f-g)(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-w_{0})^{n}$

它在 $w_{0}$ 的一個足夠小的鄰域內收斂。

首先假設 $w_{0}$ 是集合 $\{z\in U|f(z)=g(z)\}$ 的一個聚點。

令 $n_{0}\in N$ 是使得 $a_{n_{0}}\neq 0$ 成立的最小自然數。 $\Box$

定理（最大值原理）:

定理（輻角原理）:

定理（羅歇定理）:

定理（赫維茨定理）:

定理（哈託格斯延拓定理）:

令 ${\vec {\epsilon }}>{\vec {\delta }}$，並令 $f:B_{\vec {\epsilon }}(0)\setminus B_{\vec {\delta }}(0)\to \mathbb {C}$ 是全純函式，其中 $B_{\vec {\epsilon }}(0)\subseteq \mathbb {C} ^{n}$，且 $n\geq 2$。那麼存在一個唯一的函式 $F:B_{\vec {\epsilon }}(0)\to \mathbb {C}$ 使得

$F|_{B_{\vec {\epsilon }}(0)\setminus B_{\vec {\delta }}(0)}=f$.

證明：由於 $n\geq 2$，我們可以選擇 $B_{\vec {\epsilon }}(0)\setminus B_{\vec {\delta }}(0)$ 的如下子集

$W=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})|\epsilon _{1}-\alpha <|z_{1}|<\epsilon _{1}\wedge \forall j\in \{2,\ldots ,n\}:|z_{j}|<\epsilon _{1}\}\cup \{\}$,

其中 $\alpha >0$ 足夠小。由於全純函式的限制是全純函式，$f$ 在 $W$ 上是全純的。此外，$\Box$

定理（魏爾斯特拉斯準備定理）:

習題

1. 利用劉維爾定理證明每一個非常數多項式 $p\in \mathbb {C} [z_{1},\ldots ,z_{n}]$ 在 $\mathbb {C} ^{n}$ 中至少有一個根。（提示：考慮函式 $1/p$）。
2. 在本練習中，我們想看看將由實數冪級數給出的函式擴充套件到複平面上的函式的最簡單的充分條件。
   1. 令 $f(x_{1},\ldots ,x_{k})=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{k}}^{\infty }a_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{k})^{\alpha }$ 為一個實係數的冪級數，它在 $\mathbb {R} ^{n}$ 原點的開鄰域上絕對收斂。證明 $f$ 可以擴充套件到複平面原點的開鄰域上的函式。
   2. 令 $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$ 為一個冪級數，使得對於所有 $n\in \mathbb {N}$ $b_{n}$ 是實數且為正數。進一步假設 $g$ 收斂於所有 $x\in \mathbb {R}$，使得 $|x|<R$，其中 $R>0$ 是一個實數。證明 $g$ 可以擴充套件到 $B_{R}(0)\subset \mathbb {C}$ 上的解析函式。
   3. 證明前兩個子練習中考慮的擴充套件是唯一的。
3. 令$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 為一整函式，並令$0\leq \alpha <1$，$k\in \mathbb {N}$ 以及$C>0$ 使得$\forall z\in \mathbb {C} :|f(z)|\leq C(1+|z|^{k+\alpha })$。證明$f$ 是一個度數為$\leq k$ 的多項式。