複分析/全純函式區域性理論

命題（全純函式在其定義域上具有收斂的泰勒展開式）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 為開集，並令 $f:U\to \mathbb {C}$ 為全純函式。令 $z_{0}\in U$。那麼存在泰勒級數的係數 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$，使得只要 ${\overline {B_{r}(z_{0})}}\subseteq \mathbb {C}$ 是半徑為 $r>0$ 的球，且包含於 $U$ 中，那麼泰勒級數

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

在 ${\overline {B_{r}(z_{0})}}$ 上絕對收斂，且等於 $f(z)$。

證明: 根據柯西公式，我們有

$f(z)=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z}}dw$.

新增一個零，我們可以將其改寫為

$f(z)=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z_{0}-z-z_{0}}}dw$.

進一步計算，並使用模為 $<1$ 的引數的幾何級數的收斂性，

${\begin{aligned}f(z)&=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z_{0}-z-z_{0}}}dw\\&=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{1-{\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}}}{\frac {1}{w-z_{0}}}dw\\&=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}\right)^{n}dw\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}dw} _{=:a_{n}}(z-z_{0})^{n};\end{aligned}}$

這裡，交換微分和積分 由先前表示式的絕對收斂來證明。 $\Box$

定理（恆等式定理）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 為開集，令 $f,g:U\to \mathbb {C}$ 為定義在 $U$ 上的兩個全純函式。假設點 $z_{0}\in U$ 是集合 $\{z\in U|f(z)=g(z)\}$ 的聚點。那麼對於 $U$ 中 $z_{0}$ 所在的連通分量中的所有 $z$，都有 $f(z)=g(z)$。

證明：我們分別展開 $\Box$

定理（黎曼關於可去奇點的定理）:

令 $f:U\to \mathbb {C}$ 是一個在 $U\setminus \{z_{0}\}$ 上全純的函式，對於某個 $z_{0}\in U$，並且在 $z_{0}$ 附近的球（或圓盤）中是有界的，例如 $B_{r}(z_{0})\subseteq U$，其中 $r>0$ 只是那個小球的半徑。然後我們將在 $z_{0}$ 點上找到一個值 $w_{0}$，使得如果我們將 $f$ 擴充套件到 $w_{0}$ *在點 $z_{0}$*，結果將是全純的。

證明： 我們定義一個新的函式

$g:U\to \mathbb {C} ,h(z)={\begin{cases}(z-z_{0})^{2}f(z)&z\neq z_{0}\\0&z=z_{0}\end{cases}}$

並斷言它在 $U$ 上是全純的。它將在 $U\setminus \{z_{0}\}$ 中 *“根據乘積法則”*（這裡應該包括復可微函式的乘積是復可微的陳述）可微，而在 $z_{0}$ 中我們有

$\lim _{g\to 0}{\frac {g(z_{0}+h)-g(z_{0})}{h}}={\frac {h^{2}(f(z_{0}+h)-f(z))}{h}}=0$

因為 $h$ 是有界的。

現在我們將 $h$ 展開成關於 $z_{0}$ 的泰勒級數。但它的前兩個係數為零，因此 $h$ 可被 $(z-z_{0})^{2}$ 整除，得到一個冪級數，而這個冪級數將定義一個關於 $z_{0}$ 的全純函式。但根據 $h$ 的定義，這個級數與 $f$ 在除 $z_{0}$ 以外的所有地方都一致，因此如果用級數的常數項在 $z_{0}$ 處對 $f$ 進行延拓，結果將是全純的，從而得到所需的延拓。 $\Box$

光滑性，可積性