複分析/亞純函式與黎曼球面

定義（奇點）:

設 $U$ 是 $\mathbb {C}$ 的一個開子集，設 $z_{0}\in U$ 且 $f\in H(U\setminus \{z_{0}\})$ 。如果 $f$ 在 $z_{0}$ 的任何鄰域內都是無界的，那麼（且僅當） $z_{0}$ 稱為 $f$ 的 **奇點**。

定義（極點）:

設 $U$ 是 $\mathbb {C}$ 的一個開子集，設 $z_{0}\in U$ 且 $f\in H(U\setminus \{z_{0}\})$ 。如果 $z_{0}$ 是 $f$ 的一個奇點，但存在一個 $n\in \mathbb {N}$ 使得函式

U\ni z\mapsto (z-z_{0})^{n}f(z)

在 $z_{0}$ 的鄰域內是有界的（因此根據黎曼可去奇點定理，它可以在 $U$ 的整個區域內全純延拓）。那麼（且僅當）， $z_{0}$ 被稱為 $f$ 的極點。

定義（階）:

設 $U$ 是 $\mathbb {C}$ 的一個開子集，設 $z_{0}\in U$ ，最後設 $f\in H(U\setminus \{z_{0}\})$ 。如果 $z_{0}$ 是 $f$ 的一個極點，來自極點定義的自然數 $n$ 被稱為極點 $z_{0}$ 的階。

定義（本性奇點）:

本性奇點是指不是極點的奇點。

定義（亞純函式）:

設 $U$ 是 $\mathbb {C}$ 的一個開子集，設 $E\subset U$ 是離散的，設 $f\in H(U\setminus E)$ 。當且僅當 $E$ 的至少一個元素是 $f$ 的極點，並且 $E$ 的所有元素要麼是 $f$ 的極點，要麼是 $f$ 的奇點，我們稱 $f$ 是 $U$ 上的亞純函式。

定理（帶洞球內的洛朗展開存在唯一性）:

定理（穿孔球內 Laurent 展開式存在唯一性）:

定理（開集內 Laurent 展開式存在唯一性）:

定理（Marty 定理）:

函式族 ${\mathcal {F}}:\mathbb {C} \to S^{2}$ 是正規的當且僅當對於任意的序列 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 ${\mathcal {F}}$ 中，序列 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 或序列 $(1/f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 包含一個子序列，該子序列一致收斂到一個全純函式。

證明：首先假設 ${\mathcal {F}}$ 是正規的。則存在常數 $M>0$ 使得

\forall f\in {\mathcal {F}}:\forall z\in \mathbb {C} :{\frac {|f'(z)|}{1+|f(z)|^{2}}}<M

.

令 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 ${\mathcal {F}}$ 中的一個序列。那麼 $(|f_{n}'(z)|)_{n\in \mathbb {N} }$ 是一個有界序列，或者存在一個 $(f_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ 的子序列，使得 $\forall k\in \mathbb {N} :|f_{n_{k}}(z)|>C$ ，其中 $C>0$ 為某個常數。因為