複分析/特殊函式

定義（伽馬函式）:

伽馬函式是在 $\mathbb {C}$ 上是亞純函式且由下式給出

$\Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

只要 $\Re z>0$.

命題（伽馬函式插值階乘）:

對於 $n\in \mathbb {N}$，我們有

$n!=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-t}dt$.

證明：我們使用對 $n$ 的歸納法。基本情況是 $n=1$，$\Box$

命題（伽馬函式的存在性和唯一性）:

積分

$\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

只要 $\Re z>0$ 收斂，並且存在一個唯一的函式 $\Gamma$ 是 $\mathbb {C}$ 上的亞純函式，並且滿足

$\Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

只要 $\Re z>0$.

證明：首先，注意積分

$\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

對於 $\Re z>0$ 收斂，因為我們有估計

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }|t^{z-1}e^{-t}|dt&=\int _{0}^{\infty }t^{\Re z-1}e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{1}t^{\Re z-1}e^{-t}dt+\int _{1}^{\infty }t^{\Re z-1}e^{-t}dt\\&\leq \int _{0}^{1}t^{\Re z-1}dt+\int _{1}^{\infty }t^{k}e^{-t}dt,\end{aligned}}$

其中 $k\in \mathbb {N}$ 足夠大。第一個積分的值為

$\int _{0}^{1}t^{\Re z-1}dt=\left[{\frac {t^{\Re z}}{\Re z}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{\Re z}}$,

而第二個積分 小於 $k!$。 $\Box$