複分析/緊開拓撲

${\mathfrak {S}}$ -收斂和定義

關於 ${\mathfrak {S}}$ -收斂的內容需要布林巴基的一般拓撲書籍中所講的統一結構的知識。理解這個概念對於理解本書中的其他內容是不必要的。

設 $S$ 是任何集合， $X$ 是統一空間。設 $A\subset S$ 是 $S$ 的子集。我們考慮從 $S$ 到 $X$ 的函式集合；我們可以用 $X^{S}$ 來表示它。假設我們給定 $X$ 的鄰域 $V$ 。然後我們可以定義所有函式對 $(f,g)$ 的集合，它們包含在集合 $X^{S}\times X^{S}$ 中，並且具有以下性質：對於所有 $x\in A$ ，我們有 $(f(x),g(x))\in V$ ；這個集合將用

W(A,V)

.

事實上，隨著 $V$ 在 $X$ 的基本鄰域系中變化，集合 $W(A,V)$ 構成了 $X^{S}$ 上的基本鄰域系，由相應的均勻結構誘導的拓撲被稱為在 $A$ 上的一致收斂拓撲。

現在假設我們有一個 $X$ 的子集族 $(A_{i})_{i\in I}$ ；按照慣例，我們將它稱為 ${\mathfrak {S}}:=\{A_{i}|i\in I\}$ 。對於每個 $i$ ，我們可以像上面一樣形成 $A_{i}$ 上的一致收斂拓撲；對於每個 $i$ 將在 $X^{S}$ 上產生一個拓撲。然後我們可以形成這些拓撲的最小上界拓撲；這就是所謂的 ${\mathfrak {S}}$ -收斂拓撲。