複變函式/三角學

複數指數、正弦和餘弦

萊昂哈德·尤拉仔細觀察了許多數學結構，並能夠創造出抓住這些結構內容的理論。許多恆等式以他的名字命名，但最突出的尤拉恆等式，即$e^{i\pi }=-1$，被數學家們評為最美的數學公式。

正如萊昂哈德·尤拉所觀察到的，指數函式可以在三角學中佔據中心地位。在本篇闡述中，我們將首先正式定義指數函式為一個冪級數，然後透過尤拉公式定義正弦和餘弦（不是右側標題中的那個，而是包含它作為特例的更一般的公式），並論證為什麼這樣定義的正弦和餘弦具有在學校學習的幾何意義。

定義 5.1:

複數指數函式是函式

$\exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\exp(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$.

根據比值檢驗，該函式的收斂半徑為$\infty$。因此，$\exp$ 是第 3 章結果中的一個整函式。

我們現在考慮將 $i\varphi$ 形式的數代入$\exp$ 會發生什麼，其中$\varphi$ 是一個實數，我們可以選擇將其視為角度（在解釋層面）；這隻有在稍後才會被精確定義。事實上，在這種情況下，我們得到

$\exp(i\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\varphi )^{n}}{n!}}$.

我們現在想將以上結果分成實部和虛部。為此，我們使用複數乘法的交換律，即$(i\varphi )^{n}=i^{n}\varphi ^{n}$，然後我們觀察到$i^{n}$ 隨著 n 的變化週期性地取值 $i,-1,-i,1$，如歸納法和使用 $i^{4}=1$ 可見。特別是，在上述級數中，奇數$n$ 將是那些對$\exp(i\varphi )$ 的虛部有貢獻的項，而偶數$n$ 將是那些對$\exp(i\varphi )$ 的實部有貢獻的項。因此，我們得到

${\begin{aligned}\exp(i\varphi )&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\varphi )^{n}}{n!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\varphi ^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\varphi ^{2n+1}}{(2n+1)!}}\end{aligned}}$

然後，我們定義

$\cos(\varphi ):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\varphi ^{2n}}{(2n)!}}$ 和 $\sin(\varphi ):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\varphi ^{2n+1}}{(2n+1)!}}$，

我們立即得到被稱為尤拉公式的公式

定理 5.2（尤拉公式）:

$\exp(i\varphi )=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$

記住這個公式的方法是意識到字母 i 包含在 $\sin$ 中，因此它是 $\cos +i\sin$ （而不是，例如，$\sin +i\cos$）。

exp、sin 和 cos 的代數性質

我們現在證明 exp、sin 和 cos 函式的一些代數性質。首先，我們證明指數函式的被稱為函式方程的方程（之所以這樣稱呼是因為指數函式，最多相差一個常數，正是方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 的解；我們透過 $f(0)=1$ 進行歸一化）

定理 5.3（函式方程）:

對於 $z,w\in \mathbb {C}$，$\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w)$。

證明:

${\begin{aligned}\exp(z)\exp(w)&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n-k)!}}z^{k}w^{n-k}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n!}}{\binom {n}{k}}z^{k}w^{n-k}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left(z+w\right)^{n}=\exp(z+w)\end{aligned}}$

根據二項式定理。 $\Box$

從這個定理我們可以直接推匯出正弦和餘弦的**加法定理**。 實際上，對於 $x,y\in \mathbb {R}$ 有

$\exp(i(x+y))=\cos(x+y)+i\sin(x+y)$.

另一方面，根據函式方程，

$\exp(i(x+y))=\exp(ix)\exp(iy)=(\cos(x)+i\sin(x))(\cos(y)+i\sin(y))=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)+i[\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)]$.

比較實部和虛部，

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ 和 $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$.

讓我們用一個定理框把它框起來，因為它非常重要

定理 5.4 (加法定理):

如果 $x,y\in \mathbb {R}$，則

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$

$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$

另一個重要的推論是以下公式，它在許多分析領域中被頻繁使用。

定理 5.5:

對於 $x\in \mathbb {R}$,

$\sin(x)^{2}+\cos(x)^{2}=1$.

證明: 對於這個證明，我們使用“技巧” $0=x-x$。實際上，我們有

$\cos(0)=1$

從級數定義得出。因此，根據加法定理

${\begin{aligned}1&=\cos(0)=\cos(x-x)\\&=\cos(x)\cos(-x)-\sin(x)\sin(-x)\end{aligned}}$

現在我們觀察到 $\sin(-x)=-\sin(x)$ 以及 $\cos(-x)=\cos(x)$; 這同樣也來自冪級數定義。因此，

$1=\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)$

如所願。$\Box$

正弦和餘弦的分析性質

正弦和餘弦具有一些明顯的分析性質。首先，透過逐項求導級數，我們得到

$\sin '(z)=\cos(z),\cos '(z)=-\sin(z)$.

由此並透過歸納，我們可以看到 $\sin$ 和 $\cos$ 的導數週期性地迴圈遍歷 $\sin$, $\cos$, $-\sin$ 和 $-\cos$，例如

${\begin{aligned}\sin '&=\cos \\\sin ^{(2)}&=-\sin \\\sin ^{(3)}&=-\cos \\\sin ^{(4)}&=\sin \\\sin ^{(5)}&=\cos \\&\vdots \end{aligned}}$

或者

${\begin{aligned}\cos '&=-\sin \\\cos ^{(2)}&=-\cos \\\cos ^{(3)}&=\sin \end{aligned}}$

等等。

現在正弦和餘弦是連續的。此外，根據恆等式

$\sin(x)^{2}+\cos(x)^{2}=1$ ($x\in \mathbb {R}$)

它們實際上在 $1$ 上有界 $\mathbb {R}$。（我們稍後會看到，這個恆等式實際上適用於 $x\in \mathbb {C}$，但這並不意味著例如 $\sin$ 在整個 $\mathbb {C}$ 上有界 $1$，因為我們通常沒有 $\cos(z)^{2}>0$ 用於 $z\in \mathbb {C}$。）

出於稍後會變得清晰的原因，我們必須在此時插入凸分析中的一個定理。

定理 5.6:

令 $f:V\to \mathbb {R}$ 為凹函式，其中 $V$ 是一個實向量空間。考慮 $V$ 中由 $v\in V\setminus \{0\}$ 定義的直線。取 $x_{0}<x_{1}\in \mathbb {R}$。那麼對於所有 $x>x_{1}$，我們將有 ${\displaystyle }$.

證明:

以上與三角學的聯絡

在學校裡，人們學習正弦和餘弦的常用幾何意義。即，正弦是三角形對邊長度除以斜邊長度，餘弦是三角形鄰邊長度除以斜邊長度。

現在實際上，我們透過級數定義的 $\sin$ 和 $\cos$ 正是這些，因此，給定任意三角形中鄰邊和斜邊之間的角 $\varphi$，值 $\sin(\varphi )$ ($\cos(\varphi )$) 等於三角形對邊（鄰邊）長度除以斜邊長度。

我們現在將嚴格地證明這一點。

首先，我們考慮實數 $\mathbb {R}$。加上加法，它們構成一個群，如果我們賦予 $\mathbb {R}$ 歐幾里得（即標準）拓撲，這甚至是一個拓撲群，我們指的是對映

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

是連續的，其中 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 具有由我們放在 $\mathbb {R}$ 上的拓撲（在本例中，是標準（即歐幾里得）拓撲）誘導的乘積拓撲。

此外，集合

$2\pi \mathbb {Z} :=\{2\pi n|n\in \mathbb {Z} \}$

構成 $\mathbb {R}$ 的加法子群。由於 $(\mathbb {R} ,+)$ 是阿貝爾群，$2\pi \mathbb {Z}$ 是 $\mathbb {R}$ 的正規子群（加法）；這個事實可以寫成 $2\pi \mathbb {Z} \trianglelefteq \mathbb {R}$ （其中兩個群的運算都是加法）。因此，我們可以形成商群

$\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$

並賦予它商拓撲。需要花一點時間才能理解這實際上是一個與拓撲一起的拓撲群；更一般地，我們有

定理 5.?:

令 $G$ 是一個拓撲群，$H\trianglelefteq G$。然後 $G/H$ 是具有子空間拓撲的拓撲群。