聲學傳輸線計算

傳輸線作為揚聲器箱體（深棕色）中揚聲器（橙色）後方聲音的聲學通道（藍色箭頭）的示例

這本華夏公益教科書解釋瞭如何計算聲學傳輸線的特性。它基於相應的德語華夏公益教科書，並使用 www.DeepL.com/Translator（免費版）進行了廣泛的翻譯。

介紹

傳輸線（transmission line）是揚聲器聲學中對通道的稱呼，通常會摺疊多次，揚聲器向後發出的聲音會透過此通道。在通道的末端有一個開口，聲音可以透過此開口發出。在合適的條件下，這種聲音可以用來擴充套件和改善電動力揚聲器箱體在低頻端的振幅頻率響應。

本書基於理想化的理論方法來處理揚聲器的輻射行為，並使用準均勻吸收體的理論，探討了如何對傳輸線式揚聲器箱體的低頻範圍進行尺寸設計和聲學阻尼。由於數學形式簡單，因此使用了複數函式（尤拉公式）來實現。

揚聲器輻射方向

電動力揚聲器的振幅頻率響應 $A_{0}$ ，總品質因數為 $Q$ ，固有頻率為 $f_{0}$ ，理論上可以透過聲頻率 $f$ 計算如下

A_{0}(f)={\frac {\frac {f}{f_{0}}}{\sqrt {{\frac {1}{Q^{2}}}+\left({\frac {f}{f_{0}}}-{\frac {f_{0}}{f}}\right)^{2}}}}

.

在共振情況下 $f=f_{0}$ ，該公式簡化為。

A_{0}(f_{0})=Q

然而，隨著頻率的增加，頻率響應會再次下降，這與上述等式的表述相反，因為揚聲器振膜由於其機械慣性而無法再共振。在實踐中，會發生進一步的偏差，因為除 $f_{0}$ 之外，其他固有頻率也會對頻率響應做出微小的貢獻。這些固有頻率通常是由揚聲器振膜的非預期振動模式引起的。

自由揚聲器

如果揚聲器在頻率 $f$ 下工作，沒有擋板或音箱，那麼在點 $x=0$ （即揚聲器表面）上，在時間 $t$ 內，向前發射的聲波會與後面的聲波發生干涉。

A_{v}=A(f,t)=A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega t}

以及向後輻射的聲波

A_{h}=-A(f,t)=-A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega t}

其中尤拉數 $e$ ，虛數單位 $i={\sqrt {-1}}$ 和角頻率 $\omega =2\pi f$ 在任何時候都是破壞性的。

A_{tot}=A_{v}+A_{h}=0

.

這意味著總振幅頻率響應 $A_{tot}$ 變為零，因為兩聲波相互抵消。這也稱為聲短路。

帶擋板的揚聲器

如果將揚聲器安裝在擋板上，該擋板的寬度儘可能大於要輻射的最大聲波波長，就可以避免自由揚聲器的問題。然而，這種擋板通常需要非常大的尺寸。例如，在最低頻率為 30 赫茲的情況下，擋板需要橫向延伸數米。

A_{tot}=A_{v}=A(f,t)=A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega t}

其中 $A_{v}$ 代表向前輻射的聲波，在本例中，它與總輻射的 $A_{tot}$ 相同。

聲迷宮

另一種方法是在所謂的聲迷宮中安裝揚聲器。這裡，由揚聲器向後發射的聲音波的聲能透過多次反射和多次散射與吸收相結合而被消散。但是，這樣的聲迷宮也必須非常大，以便聲音能夠在很大程度上被吸收。與隔板一樣，缺點是揚聲器向後輻射的聲能沒有被利用。

封閉式揚聲器箱體

封閉式揚聲器箱體無法實現聲迷宮的理想特性。除了向前輻射的聲音波 $A_{v}$ 之外，由箱體內壁反射的向後輻射的聲音波 $A_{h}$ 也能透過揚聲器開口逃逸。反射會導致駐波的產生，這對揚聲器箱體的幅度和相位頻率響應有負面影響。雖然可以透過在揚聲器箱體內填充吸聲材料和避免箱體壁平行排列來限制這種現象，但這種效應永遠無法完全避免。此外，尤其是在低頻時，聲壓可能非常高，導致揚聲器錐體發生反饋，這與反射的聲音波一樣，作為非線性效應會產生負面影響。

總輻射聲音波 $A_{tot}$ 是由所有聲波的疊加產生的

A_{tot}=A_{v}+B(A_{h})+C(A_{h})

,

其中函式 $B(A_{h})$ 表示在揚聲器箱體中被衰減和反射的聲音波，而 $C(A_{h})$ 表示聲音反饋導致的非線性分量。

部分通風式揚聲器箱體

在所謂的部分通風式揚聲器箱體中，透過一個小開口來避免高聲壓，這個開口用於平衡壓力。如果這些揚聲器箱體經過良好的阻尼，並且沒有平行箱體壁，從而不會產生駐波，那麼它們就代表了一種相當好的折衷方案，但這裡向後輻射的聲能也沒有被用於聲音再現。

低音反射式揚聲器箱體

在低音反射式揚聲器箱體中，揚聲器箱體的固有頻率被有意地用來放大揚聲器箱體的聲輻射，主要是在低頻範圍內。揚聲器箱體有一個額外的，通常朝前的管狀開口，因此它充當具有幅度函式 $B_{v}(f,t)$ 的亥姆霍茲共振器。但是，以這種方式獲得均勻的頻率響應是有問題的，因為通常在一個過窄的頻帶上會有過度的放大，結果是來自揚聲器 $A_{v}$ 和來自額外開口 $B_{v}$ 的兩個向前輻射的聲音波可能非常不匹配。即使是低音反射式揚聲器箱體，與封閉式揚聲器箱體一樣，也會自然地產生駐波。

因此，總輻射聲音波 $A_{tot}$ 實際上是由兩個聲波的疊加產生的

A_{tot}=A_{v}+B_{v}

,

其中，函式 $A_{v}$ 代表向前輻射的聲波，而 $B_{v}$ 代表從低音反射埠輻射出的聲波。

傳輸線揚聲器

無阻尼傳輸線

從揚聲器向後發出的聲波 $A_{h}$ 可以透過長度為 $X_{0}$ 的聲學通道傳導，通道末端有一個開口。這個理想的無諧振聲學通道被英國布拉德福德大學的亞瑟·R·貝利稱為**傳輸線**。從開口發出的聲波 $A_{h,TL}$ 可以與揚聲器向前輻射的聲波 $A_{v}$ 發生干涉。對於無阻尼聲學通道，干涉聲波的振幅是兩個分量的疊加。

A_{v}=A_{0}(f)

，就像自由揚聲器一樣

以及

A_{h,TL}=-A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega \cdot {X_{0} \over c_{0}}}

.

這裡 $c_{0}$ 是氣態聲介質中的聲速（在 20°C 和 60% 相對溼度下的空氣中是 $c_{0}=344{\frac {m}{s}}$ ）。

因此，在揚聲器前方，無阻尼的 $A_{tot,TL}$ 為

A_{tot,TL}=A_{v}+A_{h,TL}=A_{0}(f)\cdot \left(1-e^{-i\omega \cdot {\frac {X_{0}}{c_{0}}}}\right)

帶阻尼的傳輸線

定性描述

在 20 世紀 60 年代，貝利提出了一個想法：讓低音單元向後輻射的聲能在一個足夠長、帶阻尼、末端開口的聲學通道中“衰減”，並在《無線世界》雜誌上發表了兩篇文章描述了這一想法。阻尼是貝利設計中不可或缺的一部分。

這種低通濾波器中的阻尼、聲速以及聲波波長都與頻率有關（色散）。頻率越低或聲波波長越長，阻尼就越小。高頻成分被聲學阻尼轉化為熱能，而從傳輸線末端出來的極低頻聲波，如果與所用低音揚聲器直接向前發射的聲波發生適當的干涉，可以改善低頻的振幅頻率響應。

根據這一原理製造的首批商用揚聲器箱體是由位於劍橋郡的 Radford 公司（與 Bailey 合作）率先推向市場的，後來又由 IMF Electronics 和德國的 Lautsprecher Teufel 等公司推出。

從揚聲器向後發射的聲波在聲通道中逐漸衰減，該聲通道用長纖維羊毛等材料進行阻尼，但極低頻率的聲波可以以微弱衰減的形式離開聲通道，並用於聲音再現。Bailey 認為，管道長度至少應約為下限截止頻率波長的四分之一，但也可以更長。它可以以各種方式彎曲或摺疊，以適應傳統的機箱，但應避免反射（例如，帶彎曲或斜面）。

由於這種“非共振揚聲器箱體”（Bailey）破壞了向後輻射的很大一部分聲能，因此傳輸線揚聲器的效率相對較低，但由於使用了強大的（電晶體）放大器，這通常不是問題。如果構建正確，傳輸線揚聲器具有非常好的、聲音中性（低）的低音再現和非常好的脈衝特性。然而，由於尺寸、重量和相對較高的製造成本，它們在長期內未能佔領市場。

時長為 30 秒的低頻正弦音調
10 赫茲
20 赫茲
30 赫茲
40 赫茲
50 赫茲

定量計算

下面將透過相應的聲學公式，對 Bailey 基本上只定性描述的事實進行定量描述。

如果傳輸線用多孔纖維吸收體進行阻尼，則根據 Fridolin Peter Mechel 的準均勻吸收體理論，從傳輸線中出來的聲波振幅 $A_{h,TL,D}$ 可以近似為

A_{h,TL,D}=-A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega \cdot {X_{0} \over c_{0}}\cdot {\sqrt {1-i\cdot {r \over {\rho _{0}\cdot \omega }}}}}

其中， $\rho _{0}$ 是氣態聲介質的密度（對於 20° C 的乾燥空氣， $\rho _{0}=1.2{{\text{kg}} \over {\text{m}}^{3}}$ ），而 $r$ 是多孔吸收材料的比流阻，單位為牛頓秒每平方米。比流阻越大，聲衰減就越大。它主要取決於材料、纖維細度和密度 $\rho$ ，即吸收體的堆積密度，以及傳輸線中的填充程度。此外，它還取決於吸收體的均勻分佈，以及纖維方向和聲頻率，因此下表僅給出一些多孔纖維吸收體的近似參考值

材料	空間密度	比流阻	重量效率
	$\rho$ 單位為 ${\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}$	$r$ 單位為 ${\frac {\text{Ns}}{{\text{m}}^{4}}}$	${\frac {r}{\rho }}$ 單位為 ${\frac {\text{Ns}}{\text{kg m}}}(={\text{Hz}})$
羊毛	5	4000	800
羊毛	10	8000	800
棉花	5	1000	200
棉花	10	4000	400
玻璃纖維	50	200	4
玻璃纖維板	20	1000	50
礦棉	10	600	60
礦棉	50	10000	200
鋁纖維	35	500	14,3
鋁纖維	70	4000	57,1

不同長度的傳輸線揚聲器箱體的振幅頻率響應 $X$ ， $A_{ges}=A_{tot}$

不同衰減的傳輸線揚聲器箱體的振幅頻率響應 $r$ ， $A_{ges}=A_{tot}$

對於整個傳輸線揚聲器箱體，以下頻率相關的振幅結果出現在帶阻尼的揚聲器箱體前部

A_{tot,TL,D}=A_{v}+A_{h,TL,D}=A_{0}(f)\cdot \left(1-e^{-i\omega \cdot {X_{0} \over c_{0}}\cdot {\sqrt {1-i\cdot {r \over {\rho _{0}\cdot \omega }}}}}\right)

振幅曲線來自複函式 $A_{tot,TL,D}$ 的幅值。這必須根據低音揚聲器總品質因數 $Q$ 、傳輸線長度 $X_{0}$ 和特定流動阻力 $r$ 進行調整，以使振幅曲線在低頻儘可能平坦。相反的兩個圖旨在說明兩個引數 $X_{0}$ 和 $r$ 對給定 $Q$ 的影響。

可以將確定的合適引數應用於傳輸線揚聲器箱體的構造中。但是，尤其要透過實驗檢查阻尼是否正確，並在必要時進行校正。此外，在驅動低音揚聲器和中音揚聲器時，上述公式得出的振幅必須

|A_{tot,TL,D}|

和相位差

arg(A_{tot,TL,D})

在傳輸線系統和低音揚聲器一側與中音揚聲器另一側之間的分頻頻率處，透過分頻器進行平衡。

傳輸線揚聲器設計經驗值

傳輸線揚聲器箱體：低音揚聲器在上，中音揚聲器在下，高音揚聲器在下。傳輸線的兩個開口位於低音揚聲器後方的斜邊上，分別位於左右兩側。

揚聲器後方傳輸線的橫截面應至少與揚聲器錐體面積一樣大，甚至稍微大一些。沿著傳輸線，其橫截面最多可以減少 25%。

低音揚聲器應該具有相對較高的整體品質因數 $\left(Q\approx 1\right)$ .

具體流量阻抗的最佳值 $r$ 必須在完成的揚聲器箱體中進行實驗測試和調整（例如使用頻率發生器或噪聲發生器和頻譜分析儀），因為很難估計內建在傳輸線中的吸收體的阻抗。

分頻器用於將電訊號分配到低音揚聲器、中音揚聲器和必要時的高音揚聲器。為了避免不希望的聲學效果，中音揚聲器和低音揚聲器之間的橫向距離以及高音揚聲器和中音揚聲器之間的距離應儘可能小。此外，所有揚聲器都應該與音箱齊平，並位於一個平面內。

傳輸線的出口埠可以在結構上被視為一個低音炮。

參考資料

Arthur R. Bailey: A Non-resonant Loudspeaker Enclosure Design - Using acoustic transmission line with low-pass filter characteristics, Wireless World, October 1965, p. 483-486
Arthur R. Bailey: The Transmission-line Loudspeaker Enclosure - A re-examination of the general principle and a suggested new method of construction, Wireless World, May 1972, p. 215-217
Ludwig Bergmann, Clemens Schäfer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1: Mechanik, Akustik, Wärme, 9. Auflage, de Gruyter, 1974, ISBN 978-3-1100-4861-2
Fridolin P. Mechel: Schallabsorption, Kapitel 18, in: Manfred Heckl, Helmut A. Müller: Taschenbuch der technischen Akustik, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975, ISBN 3-6429-7357-4
Hans Herbert Klinger: Lautsprecher und Lautsprechergehäuse für HiFi, Franzis-Verlag GmbH, München, 1981, ISBN 3-7723-1051-6
Heinz Sahm: HiFi-Lautsprecher, Grundlagen der elektrodynamischen Lautsprecher in unendlicher Schallwand und im Gehäuse, Franzis-Verlag GmbH, München, 1982, ISBN 3-7723-6522-1
Berndt Stark: Lautsprecher-Handbuch - Theorie und Praxis des Boxenbauens, Richard Pflaum Verlag, München, 1985, ISBN 3-7905-0433-5

專案概述

目標受眾： 本華夏公益教科書面向對聲學感興趣並具有數學基礎的讀者。
學習目標： 本華夏公益教科書介紹了一種使用複數函式計算阻尼聲學傳輸線的完整方法。它從揚聲器發聲和輻射的基本原理出發，逐步擴充套件和補充，闡明瞭這種傳輸線的運作機制。
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