意識研究/哲學問題/附錄

高斯曲面分析 - 度量張量的起源

19世紀初，人們逐漸意識到，像歐幾里得平行公設這樣的問題需要發展一種新的幾何學，這種幾何學能夠處理曲面和實虛平面。這種方法的基礎是高斯對曲面的分析，它允許我們在任何型別的曲面上使用各種座標系和位移。

假設曲面上有一條線。這條線的長度可以用座標系表示。短線段Ds在二維空間中可以用畢達哥拉斯定理表示為

Ds² =Dx ² +Dy² 假設曲面上還有另一個座標系，有兩個軸：x₁, x₂，如何用這些座標表示線的長度？高斯解決了這個問題，對於兩個座標軸，他的分析非常簡單

圖1

可以使用基本微分幾何來描述沿平面的位移，以曲面上的位移表示

DY =Dx₁dY/dx₁ +Dx₂dY/dx₂

DZ =Dx₁dZ/dx₁ +Dx₂dZ/dx₂

然後假設短線的位移由一個公式給出，稱為度量，例如畢達哥拉斯定理

DS² =DY ² +DZ²

或者其他度量，例如4D閔可夫斯基空間的度量

DS² = -DT ² +DX² +DY² +DZ²

這種分析可以擴充套件到任意多個維度。然後可以根據座標表示短長度Ds。此附錄末尾給出了完整的代數分析。在3D中，長度的表示式為

Ds² =SS (dX/dxⁱ dX/dx^k +dY/dxⁱ dY/dx^k +dZ/dxⁱ dZ/dx^k)DxⁱDx^k

(對於i=1到3，k=1到3)

因此，使用指標表示法

Ds² = g_ikDxⁱDx^k

其中

g_ik = (dx/dxⁱ dx/dx^k +dy/dxⁱ dy/dx^k +dz/dxⁱ dz/dx^k)

如果座標不合並，則Ds取決於兩組座標。在矩陣表示法中

Ds² = gDxDx

變成

Dx1 Dx2	乘以	a	b	乘以	Dx1
		c	d		Dx2

 

其中a、b、c、d代表g_ik的值。

Dx1a +Dx2c	Dx1b +Dx2d	乘以	Dx1
			Dx2

也就是

(Dx₁a +Dx₂c)Dx₁ + (Dx₁b +Dx₂d)Dx₂ =Dx₁²a + 2Dx₁Dx₂(c + b)+ Dx₂²d

所以

Ds² =Dx₁²a + 2Dx₁Dx₂(c + b)+ Dx₂²d

Ds²是雙線性形式，它取決於Dx₁ 和Dx₂。它可以用矩陣表示法寫成

Ds² =Dx^T ADx

其中A是包含g_ik值的矩陣。由於相同的矩陣（Dx）出現了兩次，因此這是一種稱為二次形式的雙線性形式的特例；在廣義雙線性形式B = x^TAy中（矩陣x和y不同）。

如果曲面是歐幾里得平面，則g_ik的值為

dY/dx1dY/dx1+ dZ/dx1dZ/dx1	dY/dx2Y/dx1+ dZ/dx2dZ/dx1
dY/dx2Y/dx1+ dZ/dx2dZ/dx1	dY/dx2dY/dx2+ dZ/dx2dZ/dx2

變成

1	0
0	1

所以矩陣A是單位矩陣I，並且

Ds² = Dx^T I Dx並且

Ds² =Dx₁²+ Dx₂²

這恢復了畢達哥拉斯定理。

如果曲面來自Ds² = -DY² +DZ²，則g_ik的值為

-(dY/dx1dY/dx1) + dZ/dx1dZ/dx1	-(dY/dx2Y/dx1) + dZ/dx2dZ/dx1
-(dY/dx2Y/dx1) + dZ/dx2dZ/dx1	-(dY/dx2dY/dx2) + dZ/dx2dZ/dx2

變成

-1	0
0	1

這使得可以恢復原始“規則”，即Ds² = -Dx₁²+ Dx₂²

時空間隔

現代相對論的基本假設是時空間隔是不變的。時空間隔由以下方程給出，而不是畢達哥拉斯定理

Ds² = -Dt² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²

t前面負號的起源Dt引起了相當大的興趣。它可能源於時間是虛數的假設、時間是實數並且度量對時間有負號的假設，或者時間是混合實虛數並且具有畢達哥拉斯度量的假設。

虛時間

假設畢達哥拉斯定理適用於時空間隔，並且

Ds² =Dt ² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²

g_ik = (dt/dxⁱ dt/dx^k+ dx/dxⁱ dx/dx^k +dy/dxⁱ dy/dx^k +dz/dxⁱ dz/dx^k)

對於平面dt/dx⁰ =dx/dx¹ =dy/dx² =dz/dx³ = 1，所有其他係數都為零，因此

'g' =

1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

這意味著如果要支援相對論的假設，則時間間隔必須是虛數，即Dt ² = (DT Ö -1) ²

以便Ds² =Dt² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃² 變成Ds² = -DT² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²

這種形式的時間在廣義相對論中不受支援

即時間

如果使用即時間，則沿每個座標軸的每個位移的表示式保持不變，例如

DT =Dx₁dT/dx₁ +Dx₂dT/dx₂ +Dx₃dT/dx₃ +Dx₄dT/dx₄

等等。

但是當它們組合在一起時，公式Ds² = -DT² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²用於代替畢達哥拉斯定理（有關2D中完整示例，請參見上文）。這導致以下度量張量

'g' =

-1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

其中g₀₀由-1乘以（dt/dx⁰) ²給出。

混合實虛時間

還存在第三種通常不討論的可能性。圖1中的“平面”是觀察者座標系中的平面，曲面有自己的座標系。如果曲面上的時間座標是“虛數”，而平面上的時間座標是實數（反之亦然），則使用畢達哥拉斯定理

Ds² =Dt² + Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²

其中t等於(kt)，k是一個有待確定的常數。在平坦的時空中，g₀₀由（dt/dx⁰) ²給出。但t是虛數，所以g₀₀等於-1。然後這給出了與即時間假設完全相同的度量張量。

'g' =

-1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

度量張量的現代公式

現代公式使用以下數學表示式來表示時空間隔

s² = g_mn xⁿx^m

其中s、x的值表示四個座標軸中每一個的微小位移，'g'是空間的度量。我們假設g₀₀與主對角線上的其他常數符號相反（即：假設時間是實數或混合的實數和虛數）。基於此假設，表示式變為

s² = x₁² + x₂² + x₃² - x₄²

展開如下所示。用矩陣表示法，即

T X1 X2 X3	-1	0	0	0	乘以	T
	0	1	0	0		X1
	0	0	1	0		X2
	0	0	0	1		X3

（其中t以米為單位表示時間，即：c乘以秒數）。數字-1,1,1,1是上面描述的微分系數組合的值。

計算第一個矩陣乘法，得到

-T x1 x2 x3	乘以	T
		X1
		X2
		X3

化簡為：s² = x₁² + x₂² + x₃² - t²

這是時空的度量，適用於在沒有加速度和強引力場的情況下s、x和t的相當大的值。注意，計算更像是一個平方範數而不是簡單的平方，並且帶有向量與其反射的乘積的物理含義（！）。

度量通常以微分形式表示，以便可以將其用於彎曲時空和相對於原點未測量的位移。

ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² - dt²

或者，等價地

ds² = dt² - dx₁² - dx₂² - dx₃²

高斯分析中常數的完整分析

DY =Dx₁dY/dx₁ +Dx₂dY/dx₂

DY² = (Dx₁dY/dx₁ +Dx₂dY/dx₂)²

DY² =Dx₁dY/dx₁ *Dx₁dY/dx₁ +Dx₁dY/dx₁ *Dx₂dY/dx₂ +Dx₁dY/dx₁ *Dx₂dY/dx₂ +Dx₂dY/dx₂ *Dx₂dY/dx₂

DY² =Dx₁Dx₁dY/dx₁dY/dx₁ +Dx₁Dx₂dY/dx₁dY/dx₂ +Dx₁Dx₂dY/dx₁dY/dx₂ +Dx₂Dx₂dY/dx₂dY/dx₂

以及

DZ =Dx₁dZ/dx₁ +Dx₂dZ/dx₂

DZ² = (Dx₁dZ/dx₁ +Dx₂dZ/dx₂)²

DZ² =Dx₁dZ/dx₁ *Dx₁dZ/dx₁ +Dx₁dZ/dx₁ *Dx₂dZ/dx₂ +Dx₁dZ/dx₁ *Dx₂dZ/dx₂ +Dx₂dZ/dx₂ *Dx₂dZ/dx₂

DZ² =Dx₁Dx₁dZ/dx₁dZ/dx₁ +Dx₁Dx₂dZ/dx₁dZ/dx₂ +Dx₁Dx₂dZ/dx₁dZ/dx₂ +Dx₂Dx₂dZ/dx₂dZ/dx₂

因此

DY² +DZ² =

(dY/dx₁dY/dx₁+ dZ/dx₁dZ/dx₁)Dx₁Dx₁

+ (dY/dx₂Y/dx₁+ dZ/dx₂dZ/dx₁)Dx₂Dx₁

+ (dY/dx₁dY/dx₂+ dZ/dx₁dZ/dx₂)Dx₁Dx₂

+ (dY/dx₂dY/dx₂+ dZ/dx₂dZ/dx₂)Dx₂Dx₂

對於平面

dY=dx₂ 以及dZ= dx₁ 所以dY/dx₂ = 1 以及dZ/dx₁ = 1 也dY/dx₁ = 0 以及dZ/dx₂ = 0。

Ds² =DY² +DZ² =(0 + 1)Dx₁Dx₁+ (0 + 0)Dx₂Dx₁+ (0 + 0)Dx₁Dx₂+ (1 + 0)Dx₂Dx₂

所以Ds² =DY² +DZ² =Dx₁² +Dx₂²

這恢復了畢達哥拉斯定理。

然而，在最一般的情況下，小間隔可能與畢達哥拉斯定理無關

假設

Ds² = -DY² +DZ²

所以，和之前一樣

DY =Dx₁dY/dx₁ +Dx₂dY/dx₂

DY² =Dx₁Dx₁dY/dx₁dY/dx₁ +Dx₁Dx₂dY/dx₁dY/dx₂ +Dx₁Dx₂dY/dx₁dY/dx₂ +Dx₂Dx₂dY/dx₂dY/dx₂

DZ =Dx₁dZ/dx₁ +Dx₂dZ/dx₂

DZ² =Dx₁Dx₁dZ/dx₁dZ/dx₁ +Dx₁Dx₂dZ/dx₁dZ/dx₂ +Dx₁Dx₂dZ/dx₁dZ/dx₂ +Dx₂Dx₂dZ/dx₂dZ/dx₂

所以

-DY² +DZ² =

(-(dY/dx₁dY/dx₁) + dZ/dx₁dZ/dx₁)Dx₁Dx₁

+ (-(dY/dx₂Y/dx) + dZ/dx₂dZ/dx₁)Dx₂Dx₁

+ (-(dY/dx₁dY/dx₂) - dZ/dx₁dZ/dx₂)Dx₁Dx₂

+ (-(dY/dx₂dY/dx₂) - dZ/dx₂dZ/dx₂)Dx₂Dx₂