作用量、拉格朗日和哈密頓力學

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學校裡教授的物理學觀點與現代物理學截然不同。小學物理主要集中在物質塊的加速度、碰撞、伸展和設定方向的運動。在真實的物理學中，世界被理解為發生在“流形”中的事件集合，它決定了運動的自由度。每個事件或現象要麼是定向的，具有向量的性質，要麼是非定向的，具有標量的性質。定向事件具有作為事件或現象本身屬性的幅度。事件與世界的相互作用取決於事件方向與相互作用的事物之間的角度。因此，在物理學中，現象具有內在的幅度，並且這會導致對其他事物的效應，具體取決於它們在空間和時間上的相互作用方式。在真實的物理學中，所有相互作用都取決於幅度以及事物之間的時間和空間關係。

物理學和學校物理學之間的另一個重大差異是守恆定律。在物理學中，人們理解空間和時間是對稱的，事物在所有空間方向上均勻運動的自由度導致了線性動量的守恆，時間的均勻性導致了能量的守恆等等。對稱性在守恆定律中的作用的發現源於拉格朗日形式的分析，將在下面討論。拉格朗日方法在量子力學中的應用證明了為什麼大型物體在現實世界中走特定的路徑，並且可以用來推導和解釋牛頓力學。

生物學家和人工智慧研究人員對學校物理學的深刻依賴可能是意識研究等領域取得進展的主要障礙。世界在某種程度上可以透過過程來描述這一事實，不應使我們忽略這樣一個事實，即我們觀察到的經典世界實際上是由度量幾何和量子物理學所支配的事物的排列。

作用量

大多數在學校學習過物理學的人學習了牛頓最初的方法。這種 17 世紀的物理學方法已經被取代了。許多學生會驚訝地發現，它在 18 世紀就被取代了。你曾在學校物理課上學到的方法已經過時了 200 年。

幸運的是，兩個多世紀前發現的方法仍然被廣泛應用，即使在現代物理學中也是如此，因此很容易趕上。18 世紀的方法被稱為拉格朗日力學（由約瑟夫·拉格朗日於 1772 年至 1788 年間發明）。拉格朗日力學側重於運動過程中的能量交換，而不是涉及的力。拉格朗日力學催生了哈密頓力學（由威廉·哈密頓於 1833 年發明）。

考慮一輛在無摩擦軌道上執行的玩具火車。我們希望利用我們對能量和運動的直覺來找出它從軌道起點到終點所走的路徑。如果火車在軌道上自由執行，就會發現它需要特定的時間才能到達終點。如果在第二次執行中，火車被反轉，然後在原始方向上重新啟動，以在相同的時間到達終點，則可以使用任何數量的能量將火車從起點送到終點。很明顯，如果火車要在給定的時間內從起點到終點，那麼在整個期間使用最少的能量是在沒有干預的情況下發生的。

我們可以測量所有用於減慢或加速火車的能量形式，以檢視是否發生了干預，但事實證明，只需要測量火車的動能。如果火車被減速，減去動能，那麼為了使火車在適當的時間到達軌道的盡頭，當再次推動它前進時，必須新增更多的動能才能使其及時到達終點。這意味著我們可以透過簡單地測量間隔處的動能來解釋影響火車運動的能量消耗。整個行程中動能的最小值對應於沒有干預。

當所有動能測量值的總和為零時，不會發生干預。玩具火車系統中所有動能測量值的總和被稱為作用量，符號為S。

作用量可能比簡單動能總和更復雜，例如，當球被拋向空中時，動能可以轉化為勢能，反之亦然。如果球被拋向空中並在一定時間後撞擊地面，那麼當整個時間間隔內動能和勢能之差的測量值之和最小化時，干預最少。在這種情況下，“作用量”是動能和勢能之差的測量值的總和。

皮埃爾·路易·莫羅·德·莫佩爾蒂於 1746 年發現了最小作用量的概念。他將作用量定義為運動發生的時間乘以運動物體動能的兩倍的乘積。他發現該乘積趨於最小，這一概念被稱為最小作用量原理。

尤拉、拉格朗日和哈密頓的工作導致最小作用量原理中的概念被應用於整個物理學。這種更廣泛且經過修改的最小作用量原理現在被稱為駐定作用量原理。

在數學術語中，作用量 S 由下式給出

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\ (T-U)\,dt.$

其中 T 是動能，U 是勢能。

量 (T - U) 被稱為拉格朗日函式，所以如果

$L=T-U$

拉格朗日量取決於位置以及位置相對於時間的導數 $(x,{\dot {x}})$ . 作用量為

S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;L(x,{\dot {x}})\,dt.

問題在於如何確定拉格朗日量， $(T-U)$ ，會如何隨著距離， $x$ ，而變化，從而使作用量， $S$ 最小化。換句話說，給定 $T,U$ 和 $x$ 之間的關係， $L$ 相對於 $t$ 的哪條曲線將包含最小面積？（這個過程被稱為尋找積分的最小化 *極值曲線*）。

以這種方式計算最小 *作用量* 的起點是尤拉的變分法計算（參見 Hanc 2005）。這將導致尤拉-拉格朗日方程

{\partial L \over \partial x_{a}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}_{a}}=0

這是一個用於尋找極值曲線的複雜公式。

拉格朗日量

拉格朗日量 $(T-U)$ 在簡單力學中有著直接的應用。在簡單力學中，運動物體的動能由下式給出

T={\frac {1}{2}}mv^{2}

由於 $v={\dot {x}}$ （距離的時間導數），所以等於

T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}

而勢能通常與距離成正比

U=kx

或

U=mgh

等等。

拉格朗日量則為

L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-U(x)

對拉格朗日量關於 $x$ 求導

{\partial L \over \partial x}=-{dU \over dx}

但牛頓力是勢能隨距離的變化，所以

{\partial L \over \partial x}=force

對拉格朗日量關於 ${\dot {x}}$ 求導

{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=m{\dot {x}}

而 $m{\dot {x}}$ 是牛頓動量。

所以

{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=m{\dot {\dot {x}}}

即牛頓力。因此

{\partial L \over \partial x}={d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}

它是拉格朗日力學中 $f=ma$ 的等價形式。

哈密頓力學

哈密頓力學從表達系統總能量的想法開始

H=T+U

其中 T 是動能，U 是勢能。哈密頓量可以用動量 $p$ 和拉格朗日量來表示

H_{(p,{\dot {x}})}=p{\dot {x}}-L_{(x,{\dot {x}})}

對哈密頓量關於動量速度求導得到

{\partial H \over \partial p}={\dot {x}}

對哈密頓量關於 $x$ 求導，我們可以推匯出力的哈密頓表示式

{\partial H \over \partial x}=-{\partial L \over \partial x}

以及

-{\partial H \over \partial x}={\dot {p}}=force

.

拉格朗日分析和守恆定律

尤拉-拉格朗日方程可以重新整理為

{\partial L \over \partial x}={d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}

如果這個方程的一邊為零，那麼另一邊也為零。這意味著，例如，如果動能-勢能隨著距離的變化而沒有變化，那麼 $\partial L \over \partial {\dot {x}}$ 是一個常數，或者說是守恆的。

在上面對作用的討論中，已經表明動能和勢能的變化是由於物體運動過程或軌跡的擾動引起的。換句話說，如果物體在運動中受到擾動，那麼拉格朗日量在歐幾里得空間中的變化將會發生，並且 $\partial L \over \partial x$ 在路徑沒有受到擾動的情況下將為零。

對於一個自由運動的粒子

L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}

以及

{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=m{\dot {x}}

如果

{\partial L \over \partial x}=0

那麼

m{\dot {x}}

即動量，是守恆的。

埃米·諾特系統地研究了守恆定律、對稱性和不變數之間的關係。以下列出了對稱性及其對應的守恆定律：

空間平移：動量守恆。

時間平移：能量守恆

空間旋轉：角動量守恆

雙曲旋轉（洛倫茲變換）：能量-動量四維向量守恆

參見 http://www.eftaylor.com/pub/Symmetry0104.pdf

http://www.mathpages.com/home/kmath564/kmath564.htm

這是一個存根

量子力學的作用

參見量子物理學解釋牛頓運動定律 http://www.eftaylor.com/pub/OgbornTaylor.pdf

狹義相對論入門 http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity_for_beginners

這是一個存根

成為物理是什麼感覺？

時空向量或量子場？ 這是一個存根

參考文獻

Hanc, J. (2005). The original Euler’s calculus-of-variations method:Key to Lagrangian mechanics for beginners.Submitted to Eur. J. Phys. http://www.eftaylor.com/pub/HancEulerEJP.pdf

Norbury, J.W. Lagrangians and Hamiltonians for High School Students. http://arxiv.org/PS_cache/physics/pdf/0004/0004029.pdf

Calvert, J.B. The beautiful theory. http://www.du.edu/~jcalvert/math/lagrange.htm 另見 http://www.du.edu/~jcalvert/