凸分析/強凸性

定義（強凸函式）:

令 $X$ 是一個在 $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 上的巴拿赫空間。一個函式 $f:X\to (-\infty ,\infty ]$ 稱為引數為 $\Lambda >0$ 的強凸函式，當且僅當對所有 $x,y\in X$ 和 $t\in [0,1]$ 滿足以下等式：

$f\left(tx+(1-t)y\right)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-{\frac {t(1-t)}{2}}\Lambda \|x-y\|$

命題（強凸函式的極小值點的存在性和唯一性）:

令 $X$ 是一個在 $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 上的巴拿赫空間，並令 $f:X\to \mathbb {R}$ 是一個引數為 $\Lambda >0$ 的強凸函式，此外該函式還被限制在下面（比如被 $b\in \mathbb {R}$）並且連續。那麼 $f$ 存在唯一的極小值點（即一個實現 $f(x)$ 的下確界的元素，其中 $x$ 在 $X$ 中取值）。

證明： 由於 $\forall x\in X:f(x)\geq b$，值 $\mu :\inf _{x\in X}f(x)\in \mathbb {R}$ 存在。選擇一個序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 $X$ 中，使得

$f(x_{n})\leq \mu +{\frac {1}{n}}$.

$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是一個柯西序列，因為如果 $z\in X$ 使得 $f(z)\leq \mu +{\frac {1}{n}}$ 並且 $w\in X$ 使得 $f(w)\leq \mu +{\frac {1}{m}}$，那麼

$\mu \leq f\left({\frac {z+w}{2}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\left(f(z)+f(w)\right)-{\frac {1}{8}}\Lambda \|z-w\|\leq \mu +{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)-{\frac {1}{8}}\Lambda \|z-w\|$,

因此

$\|z-w\|\leq {\frac {4}{\Lambda }}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)$;

特別地，如果我們證明了最小化點 $x_{\infty }$ 存在，那麼它將是唯一的，因為如果我們設定 $z=x_{\infty }$ 並稱任何其他最小化點為 $w$，上述估計對任意 $m,n$ 成立。由於 $X$ 是 Banach 空間，$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是收斂的，比如收斂到 $x_{\infty }\in X$。如果我們證明了

$f(x_{\infty })<\mu +\epsilon$

對於所有 $\epsilon >0$，則 $f(x_{\infty })=\mu$。根據 $f$ 的連續性，選擇 $\delta >0$ 使得 $\|x_{\infty }-y\|<\delta$ 意味著 $|f(x_{\infty })-f(y)|<\epsilon /2$。根據 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 的收斂性，選擇足夠大的 $N\in \mathbb {N}$，使得對於所有 $m\geq N$ $\|x_{\infty }-x_{m}\|<\delta$。然後選擇 $k\geq N$ 使得 ${\frac {1}{k}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}$。然後三角不等式意味著

$f(x_{\infty })-\mu =|f(x_{\infty })-\mu |\leq |f(x_{\infty })-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\mu |<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$。 $\Box$

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