凸性/凸函式

凸函式 f(x) 是一個定義在向量空間中凸集 X 上的實值函式，對於該集合中的任意兩個點 x、y，以及滿足 $\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1,$ 的任意 λ，有

$\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y).$

注意：因為 X 是凸的，所以 $\displaystyle (\lambda x+(1-\lambda )y)$ 必須在 X 中。

如果函式 -f(x) 是凸的，則稱 f(x) 為凹函式。很容易看出，如果一個函式既是凸函式又是凹函式，那麼它一定是線性的。

定理：在 X 上的凸函式在 X 的任何緊子集上都是有界的。

定理：在 X 上的凸函式在 X 內部每個點處都是連續的。

定理：如果 f(x) 在包含原點 O 的集合中是凸的，並且 f(O) = 0，那麼 ^f(μx)⁄_μ 是 μ 的遞增函式，其中 μ > 0。