凸性/海利定理

海利定理如下

令 Rⁿ 是 n 維實向量空間，令 N > n。假設你在 Rⁿ 中有 N 個凸集，使得對於任何 n+1 個集合，它們至少有一個公共點。那麼所有 N 個集合至少有一個公共點。

證明：顯然，定理對 N = n+1 成立。用歸納法證明，假設它對 N-1 成立。令這些集合為 X₁ 到 X_N。對於每個 i，排除集合 X_i。根據歸納假設，至少存在一個點 x(i) 屬於除 X_i 外的所有集合。由於 N > n+1，所以 (n+1) 個方程

$\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}x_{k}(i)=0$

$\displaystyle (k=1,2,...n)$

$\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}=0$

在 N 個未知數 λ₁ 到 λ_N 中必須有非平凡解。對於一個這樣的解，用 λ_j1 到 λ_jk 表示那些正的 λ，用 λ_h1 到 λ_h(N-k) 表示那些負的 λ。