凸性/凸包

定義

集合 X 的凸包，也稱為凸包絡，是 X 的最小凸集。形式上，

定義： 集合 X 的凸包 H(X) 是包含 X 的所有凸集的交集。

如果 X 是凸的，那麼顯然 H(X) = X，因為 X 是它自己的子集。反之，如果 H(X) = X，則 X 顯然是凸的。

定理： 如果 X 是閉且有界的，那麼 H(X) 也是閉且有界的。

定理： H(X) 是連線 X 中所有點對的所有直線的並集（其中直線包括端點）。

證明： 設 A、B 為 X 中任意兩點。它們也位於包含 X 的任何凸集 Y 中。連線它們的直線也必須位於 Y 中，因此它必須位於包含 X 的所有凸集的交集中，即位於 H(X) 中。因此，所有這些直線的並集是 H(X) 的子集。