凸性/什麼是凸集？

一個凸集；任何連線兩點的直線都不能完全位於集合之外

一個凸集是指一個點集，對於該集合中的任意兩點 A、B，連線它們的直線 AB 完全位於該集合內。

直觀地說，這意味著該集合是連通的（因此你可以從任何兩點之間穿過而不離開該集合）並且其周長沒有凹陷。周長的一部分可以是直線。

筆記

1. 假設連線兩點的直線概念已經定義。在實數上的向量空間中，它是集合 {λA+(1-λ)B}，0 < λ < 1}。除非明確說明相反，否則將假設我們正在處理實數上的向量空間。
2. 按照慣例，空集和所有包含單個點的集合都被視為凸集。由於我們無法在這些集合中找到兩個不同的點，因此我們不能說連線這兩個點的直線不在集合中。

定理

如果 X 是一個凸集，並且 x₁ ... x_k 是其中的任意點，那麼

$\displaystyle x=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}$ 其中所有 $\displaystyle \lambda _{i}>0$ 並且 $\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=1$

也在 X 中。

證明： 如果 $k=2$，則該定理根據凸集的定義成立。

現在我們透過歸納進行推導。假設該定理對於 $k=m$ 成立。如果 $k=m+1$，我們可以將 $x$ 的定義表示為兩個點的線性組合，其中一個是前 $m$ 個點的線性組合，另一個是第 $(m+1)$ 個點

$\displaystyle x=L\sum _{i=1}^{m}(\lambda _{i}/L)\,x_{i}+(1-L)\,x_{m+1}$ 其中 $\displaystyle L=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}$.

根據歸納假設，第一個點必須在$X$中；因此，根據定義，$x\in X$。