密度泛函理論/霍亨伯格-科恩定理

霍亨伯格-科恩定理

1. 如果兩個電子體系，一個被困在一個勢能 $v_{1}({\vec {r}})$ 中，另一個被困在一個勢能 $v_{2}({\vec {r}})$ 中，具有相同的基態密度 $n({\vec {r}})$ ，那麼必然地 $v_{1}({\vec {r}})-v_{2}({\vec {r}})=const$ 。

推論：基態密度唯一地確定了勢能，從而確定了體系的所有性質，包括多體波函式。特別是，“HK”泛函，定義為 $F[n]=T[n]+U[n]$ 是密度的通用泛函（不顯式依賴於外部勢能）。

2. 對於任何正整數 $N$ 和勢能 $v({\vec {r}})$ ，存在一個密度泛函 $F[n]$ ，使得 $E_{(v,N)}[n]=F[n]+\int {v({\vec {r}})n({\vec {r}})d^{3}r}$ 在 $N$ 個電子在勢能 $v({\vec {r}})$ 中的基態密度處取得最小值。 $E_{(v,N)}[n]$ 的最小值就是該體系的基態能量。